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1、向量的坐标表示及其运算.向量的数量积基本概念总结:一、向量的坐标表示及其运算向量是既有大小又有方向的量。在平面内可用带箭头的线段来表示，线段长表示大小，箭头表示方向。两个向量可以根据平行四边形法则，三角形法则进行加，减运算，这始终是儿何法。为了使向量运算代数化，数形结合，我们在平面内建立直角坐标系后，可以把其放置于坐标系中考虑。平面內任意的向量都可以把它的起点移到坐标原点，平移后的向量与原向量相同。所以我们称所有始点为原点的向量为位置向量，这样就能将向量的位置确定下来，通过点的坐标，将向量的几何运算转化为代数运算，即坐标运算。平面内任意的向量都唯一对应着与它
2、相等的位置向量，位置向量由位置向量的终点确定。每一个位置向量的终点与平面内的点是一一对应的。1）把与X轴正半轴同方向的单位向量记作i，把与Y轴正半轴同方向的单位向量记作丿见图则OA=O+OA.j即a=OA=xi--y-j它们的系数恰为向量OA的终点A的坐标，我们把有序实数对叫做向量d的坐标，记作a-（x,y）2）有了向量的樂标，向量的运算可转化为向量的坐标运算设a=（西,刃）,/?=（勺，力），则（1）a+h=（xi+x2,y（+y2）；（2）=_七,必_%）；（3）加=（州,;）亿为实数）3）设点P和Q的坐标分别为（西，）[）和（兀2，歹2），贝9OP
3、=（x[yy^OQ=（x2.y2）,贝ijPQ=OQ-OP=（x2-x[,y2-yl）如图4）已知P是直线上的点，且片P=2開（2为任意实数，且A^-l）,人,鬥的坐标分别为（Xj,y2）,求点P的坐标（%,y）o解：由p}p=^pp2,可知一兀―）因为—,丿一X=久（力一刃所以尢_X]+Ax2我们把这个公式叫做线段片£的定比分点公式。1+2（1）当2〉0时，点P在片用之间；当2<0时，点P在斥£或£片的延长线上。，则八罔。2的正负由片P与PR的方向确定，当片P与P只的方向相同时，A>0；当与的方向相反时,（3）特别地，当免=1时，P为线段的中点,有中点公式
4、0（当且仅当
5、a=0时，取等号）a•（-a）=卜卜0costt=-a；z-J=j-/=0（这里向量i与j的夹角是90°）ci•b2）根据向量的数量积的定义，可知两个非零向量a与b的夹角满足cos。=上一ab（1）两个向量Q与b垂直的充要条件是a-b=G(2)向量的数量积有：(1)ab=b・a;(3)(2a)-h=a-(AZ?)=A(a-h)；(4)a-(b--c)=ab+a-c+才Jx；+y；3)设a=(壬,刃),b=(吃,y2)^>a-b=x,x2+y{y2:cos&=两个向量o与b垂直的充要条件是ab=0,即舛吃+刃力=0。三、平面向量的分解定理：如果3、匕是同一平
6、面内的两个不平行向量，那么对于这一平而内的任意向量Q,有且仅有一对实数人、人，使匕=人勺+&勺。应用举例：1、已知：斥=(3,4),打=(2,—5)且满足耳+场+耳=0,求九的坐标。解：设卩3=(%,已知好+鬥+④，得(3,+4卜*兄另=5)则3+2+x=04-5+y=0x=-5yi即鬥=(—5,1)2.如图，己知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。解：当平行四边形为ABCD时，得D(2,2)；当平行四边形为ACDB时，得£>(4,6)0X解：/?=(!,2-)x2(=,±)-1-(
7、勿=1,4)-x2=(1,由p,q平行，得2X+I4=0,即3(2兀+1)-4(2-力=0,解得x=~.2-x324.已知三点A(2,3),3(5,4),C(7,10),点片前足乔二AB+AAC(AgR)(1)久为何值时，点P在正比例函数y=x图象上？(2)设点P在第三象限，求2的収值范围。解：设P点的坐标为P(x,y),则由4(2,3)知AP=(x—2,y—3)。又B(5,4),C(7,10),AB=(5—2,4—3)=(3,1),AC=(5,7)。兀—2=3+5Ay—3=1+72.•・AB+2AC=(3,1)+2(5,7)=(3+52,1+72).由AP
8、二AB+2AC,可得(兀一2,y—3)二(3+5久,
