第二讲图形位置关系(含答案)

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1、中考数学重难点专题讲座第二讲形位置关系【前言】在屮学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形Z间的关系。在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与具他图形的关系來考察，这具屮最重要的就是圆与三角形的各种问题。综合整个2010一模来看，18套题屮有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。这个信息告诉我们中考中这一类题儿乎必考。由于此类题FI基木都是上档次解答题的第二道,紧随线段角计算Z后，难度一•般中等偏上。所以如何将此题分

2、数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。从题目本身來看，-般都是采取很标准的两问式.笫一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论，笫二问通帘会给定一线段长度和一角的三角两数值，求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。一模尚口如此，中考也不会差的太远。至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到•所以木讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。第一部分真题精讲【例1]（2010,丰台，—•模）己知：如图，为00的直径，QOHAC的中点D,DE丄BC于点E.

3、（1）求证：DE为的切线；（2）若DE=2,tanC二丄，求的直径.2【思路分析】本题和人兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD,在AABC中OD就是中位线，平行于BCo所以利用垂直传递关系可证0D丄DE。至于笫二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得岀

4、AABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD,从而将圆问题转化成解宜角三角形的问题就可以轻松得解。【解析】(1)证明：联结0D・JD为AC中点，0为AB中点,・・・0D为AABC的中位线.・・・OD〃BC.•・・DE丄BC,ZDEC=90°.・・・Z0DE=ZDEC=90°・・・.0D丄DE于点D.・•・DE为OO的切线.(2)解：联结DB・TAB为00的直径,・・・ZADB二90°.・・・DB丄AC..'.ZCDB二90°.•・•D为AC中点,AAB=AC.在RtADEC中，VDE=2,UmO

5、丄，・・.EC二-^=4.(三角函数的意义要记牢)2tanC由勾股定理得：DC二2亦・在RtADCB中，BD=Z)C-tanC=V5.由勾股定理得：BC=5.AAB=BC=5.・・・00的直径为5.【例2】(2010,海淀，一模)已知：如图，O为MBC的外接圆，BC为O的直径，作射线BF,使得平分ZCBF,过点4作AD丄BF于点£>•(1)求证：DA为O的切线；(2)若BD=,tanABAD=丄，求O的半径.2A【思路分析】木题是一道典型的用角来证切线的题目。题目屮除垂肓关系给定以外，就只给了一

6、条BA平分ZCBFo看到这种条件，就需要大家意识到应该通过介度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题屮，连OAZ后发现ZABD=ZABC,而OAB构成一个等腰三角形从而ZABO=ZBAO,自然想到传递这儿个角之间的关系，从而得证。笫二问依然是耍用角的传递，将已知角ZBAD通过等量关系放在AABC中，从而达到计算直径或半径的冃的。【解析】证明：连接A0・TAO=BO,・・・Z2=Z3.•・•BA平分ZCBF,・•・Z1=Z2.AZ3=Z1.・・・DB//AO.

7、（得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）•・•AD丄DB,・•・ZBDA=90°.ZDAO=90°.・.・AO是。0半径，・・・D4为€）0的切线.（2）•/4D丄DB,BD=,tanZBAD=-f2・・・AD=2.由勾股定理,得abY.・・・sinZ4=^.（通过三角函数的转换来扩大已知条件）5•・•BC是OO直径，・•・ZBAC=90°.：.ZC+Z2=90°.XVZ4+Zl=90°,Z2=Z1,・・・Z4=ZC.（这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sinZBAD）

8、在RtA/l^C中，BC=-^-=AB=5.sinCsinZ4・・・o的半径为仝.2【例3】（2010,昌平，一模）（1）求证：BD是OO的切线;（2）若点£是劣弧BC上一点，AE与3C相交tanZBFA已知：如图，点D是G）O的直径CA延氏线上一点，点3在＜30上，h.OA=AB=AD,求（DO的半径长.【思路分析】此题条件中冇0A=AB=OD,聪明的同学瞬间就能看出来BAK实就是三角形OBD中斜边0D上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理,马上可以反推