第二讲　直线与圆的位置关系

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1、第二讲　直线与圆的位置关系1．圆周角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________．推论1：同弧或等弧所对的圆周角______；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也______．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆的内接四边形的对角______．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的______

2、．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点______．3．圆的切线的性质及判定定理(1)性质性质定理：圆的切线垂直于经过切点的______．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过______．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过______．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的______．4．弦切角的性质定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_______

3、_．5．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的____相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的____相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的__________．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的______．1．(课本习题改编)如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，PA＝AB＝，

4、CD＝3，则PC等于________．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝30°，则∠D＝________.　　2题图　　　　　　　　　3题图3．如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD＝2，BD＝4，则EA＝______.4．(课本习题改编)如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．　　4题图　　　　　　5题图5．(2012

5、·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于______.题型一　圆的内接四边形的性质与判定例1　如图，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．若∠C＝50°，则∠IEH＝________.思维升华　证明多点共圆时，若它们在一条线段同侧，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；若两点在一条线段两侧，则证明它们与已知线段两端点连成的凸四边形对角互补．当证明四点共圆以后，

6、圆的各种性质都可以得到应用．　如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，则∠OAM＋∠APM＝________.题型二　圆的切线的判定与性质例2　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD＝2，AE＝6.(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长．思维升华　证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连

7、接圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．　(2013·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.题型三　与圆有关的比例线段例3　(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)A

8、C·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.思维升华　(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．　如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN