高二第3讲、圆锥曲线存在性问题和轨迹问题(教师版)

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1、第三讲圆锥曲线存在性问题与轨迹问题一.轨迹问题1、（2009重庆）已知以原点0为中心的椭圆的一条准线方程为y=半，离心率0=V32M是椭圆上的动点.（I）若cq的坐标分别是（（）,-巧）,（（）,的），求的最大值;（II）如题（20）图，点A的坐标为（1,0）,B是圆兀2+）,=］上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：OQ=OM+ON,QABA=O.求线段0B的屮点P的轨迹方程;99解"I）由题设条件知焦点在y轴上,故设椭圆方程为于＜aB川x>b>0)•题（20）图设C=yla2-b2,由准线方程y=-得•由eV32吟£，解得

2、a=2,c"从而…椭圆方程为宀卜1.以，MC+又易知C,D两点是椭圆X2+-^—4MD=2a=4从而MCMD<(MC+MD仅^MC=MD,即点的坐标为（±1,0）号，的最大值为4)2（II）如图（20）图,设Q(xQ,yQ).因为NOn，0),OM+QV=OQ,故+—（2心）2+y—4i因为Q4B4=0,（1-％-九）（1-心-儿）=（1一％）（1-兀、「）+）%=0,所以xQxN+yQyN=xN+xQ-.②记P点的坐标为（》,*），因为P是BQ的屮点所以2xp=xQ--xp,2yp=yQ+yP由因为琉+y；=l,结合①

3、，②得•4+y；=才（（勺+兀/v尸+（儿+Xv）2）=*（对+琉+必+y„+2（厲心+yQyN））=匚（5+2（兀。+兀“一I））4故动点p的估计方程为199U--）2+/=l2、（2012辽宁）如图，动圆ct:x2+y2=r,l

4、，rtif+^=1得滋"一¥，从

5、而X锐=对（1_鲁-）=_£（兀_^）2+专当4=

6、^（）=

7、时，5niax=6从而t=^5时矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.⑵由A（x0,y0）,5（x0（-3,0）,A2（3,0）知直线AA的方程为y=（x+3）……①尤0+3直线A2B的方程为y=二+3）……②兀0—3”9)兀2又点A（兀0，儿）在椭圆C上，故滋=1-才……④将④代入③得y-/=l,(x<一3,yV0)1*2因此点M的轨迹方程为——b=1,(尢V_3,yV0).93、［2011•安徽卷］设2>0,点4的坐标为（1,1）,点B在抛物线y=F上运动，点q满足BQ

8、=AQA.经过点Q与兀轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足QM=AMP,求点P的轨迹方程.【解析】本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念、性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.【解答】由QM=入畑呗Q,/，三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设戶匕，y）,Qjx,必），丿心x）,则x—ya—人（y—/）,即yo=（1+x—人y.①再设〃（加，/1）,由~BQ=A~QAt即｛x—x,y。一口）=人（1—/1—yo）,解得X=+久x—久,*②.71=+人旳―人・将①式

9、代入②式，消去M，得X=+人X—久，口=+人1x——人+人y——人.°又点〃在抛物线y=#上，所以戸=彳,再将③式代入口=血得（1+久）',一久（1+人）y—久=［（1+人）x—久］彳，（1+~x—人（1+人）y—人=（1+~x—2久（1+久）%+久',2久（1+久）x—久（1+久）『一久（1+久）=0.因A>0,两边同除以久（1+久），得2%—y—1=0.故所求点戶的轨迹方程为y=2x—l.4、（天津理18）在平面直角坐标系xOy中，点P（a,b）（a>b>0）为动点，斥，&分别为椭22圆二+刍=1的左右焦点.已知、FPFr为等

10、腰三角形.ab~_（I）求椭圆的离心率S（II）设直线P佗与椭圆相交于A,3两点，M是直线P传上的点，满足AM.BM=—2,求点M的轨迹方稈.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.（I）解：设F｛（-c,0）,F2（c,0）（c>0）由题意，可得IP坊1=1片坊I,即J(a-c)2+戻=2c.整理得2(-)2+--1=0,得£=—1(舍),aaac11或_=三•所以纟=二・a22(II)解：由(I)知a=2c

11、,b=*c,可得椭圆方程为3x2+4/=12c2,直线PF2方程为y=a/3(X-C).A,B两点的坐标满足方程组3x2+4y2=12c2,y=y/3(x-c).消去y并整理，得5x2-8cx=0.8解得xi=0,x2=