问题42+平面向量中的最值、范围问题-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品+word版

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1、2018届高三数学成功在我专题四平面向量问题一：平面向量的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据己知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.二、经验分享1.利用平而向量的数量积可以解决儿何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化

2、为向量形式，用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平而向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平血几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处•解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解（较易）；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解（较难）；③建系，借助向量的坐标运算,此法对解含垂

3、直关系的问题往往有很好效果.3.坐标是向量代数化的媒介，通过向量的处标表示可将向量问题转化为代数问题來解决，而坐标的获得通常要借助于直角坐标系.对于某些平血向量问题，若能建立适当的直角坐标系，可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程，有效地降低思维量，起到事半功倍的效果.上面两题都是通过建立坐标系将向暈问题转化为函数与不等式问题求解，体现了向量解题的工具性.三、知识拓展1.-a\b

4、个非零向量2和方，它们的夹角为0,把数量2•万•cos&叫做方和乙的数量积（或内积），记作2怎・即ab=a-b-cos0f规定70=0,数量积的表示一般有三种方法：⑴当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解，即ab=a-b・cos&；（2）当己知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=（/,yi）,b=（疋,比），则a・b=x^+y^,.（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.【例1】在边反为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则的取值范围为【分析】利用向量

5、的加法或减法法则，将向&EB,ED分别表示,结合已知条件^AE=x(0

6、】将用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其小选择变量要有可操作性.【小试牛刀L2018届华南师范大学附属屮学高三综合测试】如图,半径为1的扇形AOB^tZAOB=—,3P是弧AB上的一点，且满足OP丄OB,M,N分别是线段04,03上的动点，则兩•顾的最大值为()()MAA忑A.B.—C.1D.y[222【答案】C【解析】•・•扇形AOB的半径为1,・••丽=1,・・・0P丄OB,：.OPOB=Qf2兀71•••ZAOB=——，•••ZAOP=一,36・・・翊丽=(陀+丽).(而+丽卜而?+丽•而+丽陀+丽丽

7、=1+OM5COSF6OM\ON2兀cos——<1+Ox3+0x-丄］=1,故选C.<2丿(二)平面向量模的取值范围问题设方=(兀刃，则方=7?=j?不向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，对以将向量用基底向量表示再求・【例2］已知向量a，b、c满足a=4,b=2血，ci与b的夹角为一，(c—a)・(c—b)=—l,则c-a的最4大值为()(A)V2+-(B)—+1(C)匹乂(D)V2+1222【分析】根据已知条件可建立

8、直角坐标系，用坐标表示有关点(向量)，确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面儿何知识求最值或范围.【解析】设OA=a,OB=b,OC=c；以0A所在直线为x,0为坐标原点建立平面直角坐标系，・・・a=4,h=2近,与b的夹角为4则A(4,0),B(2,2)，设C(x,y)/(c—G)•(c—〃)=—1,x2+y2-6x~2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)—1表示以(3,1