问题32平面向量中最值、范围问题-2018届高三数学成功在我之尖子生提分精品（江苏版）（原

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1、2018届修科闊為三赦修啟功在我专题三平面向量问题二：平面向量中的最值、范围问题—、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数"与“形"的双重身份,所以解决平面向暈的范I韦I、最值问题的另外一种思路是数形结合.二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何屮的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角

2、坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.儿何图形屮向暈的数量积问题是近儿年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面儿何知识及向量数量积的基本概念直接求解（较易）；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解（较难）；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3.坐标是向量代数化的媒介，通过向暈的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决，而坐标的获得

3、通常要借助于直角坐标系•对于某些平面向量问题,若能建立适当的直角坐标系，可以使图形中复杂的儿何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程，有效地降低思维量，起到事半功倍的效果.上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性.三、知枳拓畏1.-a\b

4、-

5、&

6、

7、向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab=a-b-cos0；(2)当己知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(xuy),b=(x2,y2),则ab=山疋+)"2；(3)运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.学■科网【例1】在边长为2的等边三角形ABC中,D是43的中点,E为线段AC上一动点，则EB•ED的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则，将向量西，丽分别表示，结合已知条件设

8、疋

9、=兀(0

10、E)-(AD-AE)=AB-AD-(AB^a5)-AE^AE1□=2-1,4D

11、2-3AD-AE^AE

12、2=2-x+x由于E为线段AC±—动点，故0

13、^

14、=7?=J

15、x2+尸，向量的模可以利用坐标表示他可以借助“形二向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平而儿何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.【例2］己知向量a.h.c满足a=4,b=2V2,a与b的夹角为一，(c-d)・(c-b)=-1,则c-a的最4大值为•【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点(向量)，确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设OA=a,OB=h.OC=c；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立平面直角坐标系，V6/=4,&=2^2,a与B的夹角为—,4则A(4,0),B(2,2)，

16、设C(x,y)*.*(c-a)・(c-初=-1,・•・x2+y2-6x-2y+9=0,即(x・3)?+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆,c-a表示点A,C的距离即圆上的点与点A(4,0)的距离；・・•圆心到B的距离为J(3—4)2+(l—0)2••c—ci的最大值为V2+1.【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,止确找到变量间的关系，以及目标函数代表的几何意义是解题关键.【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量刃和西满足

17、丙