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1、第18卷第4期数学研究与评论Vol.18No.41998年11月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONNov.1998XBCI-代数的换位元孟 繁 申(河北邢台师专,054001)摘 要 本文在BCI2代数中引入了换位元,证明了换位元的若干重要性质,讨论了换位元与极大元、极小元以及半群之间的关系.关键词 换位元,极小元,极大元,半群.分类号 AMS(1991)06F35öCCLO153.1在BCI2代数中,特殊元素对BCI2代数的研究显得非常重要.这方面的结果可参见文[1]—[4].本文中,笔者在BC
2、I2代数中引入换位元,并将讨论换位元的性质和作用.本文中X均表示BCI2代数(X;3,0).1 换位元的性质定义1设X是一个BCI2代数,元m∈X,若对Px,y∈X,恒有x3(m3y)=y3(m3x),(1)则称m为X的换位元.定理1元m∈X是换位元的充要条件为:对Px∈X,恒有m3(m3x)=x.(2)证明 必要性由(1)式易得(2)式.充分性 若(2)式成立,则对Px,y∈X,x3(m3y)=[m3(m3x)]3(m3y)=[m3(m3y)]3(m3x)=y3(m3x).由定义1知m是X的换位元.定理2元m∈X是换位元的充要条件为:对Px,y
3、∈X,恒有(m3x)3(m3y)=y3x.(3)证明 必要性由(2)式易得(3)式.充分性 对Px∈X,m3(m3x)=x30=x,由定理1知m是X的换位元.定理3元m∈X是换位元的充要条件为:对Px,y∈X,由m3x=y可推得x=m3y.(4)证明 必要性只需设y=m3x,即可得(4)式.充分性 若(4)式成立,对Px∈X,令y=m3x,由(4)得x=m3y=m3(m3x).由定理X1995年5月15日收到.—609—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.1
4、知m是X的换位元.定理4元m∈X是换位元的充要条件为m3X=X.(5)证明 必要性设m是X的换位元.显然m3XAX.另一方面,对Px∈X,令z=m3x.由(4)式得x=m3z∈m3X,从而XAm3X.所以有m3X=X.充分性 因X=m3X,对Px∈X,有y∈X,使x=m3y,由文[5]的性质得m3(m3x)=m3[m3(m3y)]=m3y=x.由定理1知m是换位元.利用定理4,根据BCI2代数X的乘法表极易判定哪一元是X换位元.例1设BCI2代数X={0,1,2,3}的乘法表为右表所示,易见元素1,2均是X的换位元.30123定理5元m∈X是换位
5、元的充分必要条件为:对00033Px,y,z∈X,恒有(x3y)3(m3z)=(z3y)3(m3x).(6)11032证明 必要性设m是换位元,对Px,y,z∈X,(x322301y)3(m3z)=[x3(m3z)]3y=[z3(m3x)]3y=(z333003y)3(m3x).充分性 若(6)式对Px,y,z∈X均成立,在(6)式中令y=0即得x3(m3z)=z3(m3x),由定义1知m是X的换位元.定理6设m是X的换位元,则对Px,y∈X,恒有(x3y)3(m3y)=x3m.(7)证明 对Px,y∈X,由m是换位元及(6)式得(x3y)3(m
6、3y)=(y3y)3(m3x)=(m3m)3(m3x)=[m3(m3x)]3m=x3m.定理7设m,n,r均为X的换位元,对Px∈X,恒有(m3n)3(r3x)=(m3r)3(n3x).(8)证明 对Px∈X,(m3n)3(r3x)=x3[r3(m3n)]=x3[n3(m3r)]=(m3r)3(n3x).故(8)式成立.{{定理8设X,X是两个BCI2代数,而且X是X的同态像,若m∈X是X的换位元,则m{{{的同态像m∈X也是X的换位元.{2定理9若m是X的换位元,则m=(m,m)是积代数X的换位元.以上两个定理易证,从略.2 换位元与极大元、极
7、小元定理10设m∈X,是换位元,对Px∈X,x3m是极小元,而且X3m是X的P2半单子代数.同时x3m=03(m3x).(9)证明 Px∈X,由m是换位元得03(m3x)=(m3m)3(m3x)=[m3(m3x)]3m=x3m.因03(m3x)是极小元知x3m是X的极小元.再由文[6]知X3m是P2半单子代数.—610—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.推论1设m是X的换位元,则X3m=03X.定理11设m∈X是换位元:(i)若X是真BCI2代数,则m是X
8、的极大元;(ii)若X是BCK2代数,则m是X的最大元.证明 (i)Px∈X,设m≤x,即m3x=0,则m=m30=m3(m3x)=x,
