BCI-代数的加法序半群的理想.pdf

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1、2011年11月西安石油大学学报(自然科学版)NOV．20l1第26卷第6期JournalofXianShiyouUniversity(NaturalScienceEdition)Vo1．26No．6文章编号：1673-064X(2011)06-0105-03BCI一代数的加法序半群的理想杨闻起(宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013)摘要：说明了一般BCI一代数(，，o)的加法半群是序半群，讨论了它作为序半群的理想和核的性质，并由此刻画了BCK一代数和P一半单BCI一代数．关键词：BCI一代

2、数；加法序半群；理想；核中图分类号：O153．1文献标识码：A于运算“”是一个对合群．1预备知识文[4]中把满足0(0)=的BCI一代数叫做P一半单的，它显然是结合BCI一代数的推广，13本数学家K．Is6ki引入的BCI一代数在文并证明了P一半单BCI一代数关于运算+Y=[1]中叙述为：；f：(0Y)是以0为零元的可换群，并称之为BCI一定义1[11设(X，$，0)是(2，0)型代数，如果代数的伴随群．V，Y，z∈X，有文[5]中把满足(Y)z≤(Yz)的(1)((Y)(：lcz))}(zY)

3、=0；BCI一代数叫做拟结合的，它显然也是结合BCI一(2)($(，，))Y=0；代数的推广，并证明了是拟结合的当且仅当V∈(3)：0；，0}(0)=0：lc．(4)xY=0，Y=0蕴涵=称是BCI一文[6]还证明了拟结合BCI一代数关于运算代数，记为(X，：一c，0)．还规定X≤Y当且仅当Y=+Y=0：I：(Y)是可换半群．0，那么，“≤”是上的偏序．文[7]中引入一般BCI一代数(，，0)的加文[1—2]中还给出了以下公式：法：+Y=0，l：((0)Y)，把文[3]，[4]，[6]中引理l[

4、在BCI一代数(，％，0)中，Vx，Y，的加法统一了起来，并证明了关于以上加法做成∈X，有一个可换半群，并称之为BCI一代数的加法半群，(1)0=；记为(，+)．(2)(Y)；lcz=(z)Y；本文首先说明一般BCI一代数(，，0)的加(3)0(Y)=(0，I：)％(0Y)；法半群还是一个序半群，进一步讨论它的性质，并用(4)0(0$(0戈))=0；lc；加法序半群的理想和核来研究BCI一代数．(5)≤Y蕴涵％≤Y，Y≤z．文[3]中把满足(Y)z=(Yz)的2BCI一代数的加法序半群BCI一代

5、数叫做结合的，证明了是结合的当且仅当V∈X，0=，并且结合BCI一代数关我们先证明以下事实：收稿日期：2010—11．11基金项目：陕西省自然科学基金资助项目(编号：2010JM1016)；宝鸡文理学院重点科研基金资助项目(编号：ZK0913)作者简介：杨闻起(1962-)，男，教授，主要从事代数研究．E-mail：ba~iywq@126．con．——106．——西安石油大学学报(自然科学版)定理1在一般BCI一代数(，，0)中，令+且Vn，b∈A，有。+b=0$((00)：l：b)∈A，从Y=

6、0((0)Y)，那么，(，+)是一个序半群，而A是(，+，≤)的子半群．称之为BCI一代数的加法序半群，记为(，+，≤)．3加法序半群的理想和核证明文[7]已证(，+)是一个可换半群，下面证明它是序半群．文[8]给出了序半群的理想与核的概念，把其设≤y，由引理1(5)得0y≤0，从而中的运算改为加法后可叙述为：(0Y)；Ic≤(0)，且0((0))≤定义2设A是加法序半群s的非空子集，0((0)，))，即+彳≤Y+，又由于加法可换，如果所以+≤+y，从而(，+，≤)是序半群．(1)Vs∈S，Vn

7、∈A，有s+口，口+s∈A；定理2在一般BCI一代数(，，0)的加法序(2)V∈A，Vb∈S，由b≤0可推出b∈A，半群(，+，≤)中，对任意∈X，有称4是序半群S的理想．(1)(0)+=0；如果序半群．s的所有理想的交非空，称这个非(2)0+≤且O+=是关于≤的极小空交为5的核，记为r(Js)．在序半群Js中，如果只元．有Is为它的理想，称s为单序半群．证明显然，Ker(S)未必存在，但是如果存在，必是

8、s(1)(0)+=+(0)=0((0))的最小理想．(0)=0；l：0=0．设，是BCI一

9、代数的加法序半群(，+，≤)(2)0+=0((O0)：lc)=0(0)≤的任意理想，任取口∈，，由定理2(1)知，0=0o+．0∈，，所以加法序半群(，+，≤)的核一定存在，如果为极小元，必有0+=．反过来，如果且0∈Ker()．0+=，且口=0：I=(0)，设Y≤，贝0有y=我们希望通过讨论加法序半群的核，来研究(0(0$))Y=(0)$(0$)=0()，)=BCI一代数自身的性质．0，故Y=，从而为极小元．定义3[在BCI一代数(X，$，0)中，把如果BCI一代数(X，；I：，0)还满足V∈