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2、肈蒀羄羀肇薂螆袆肆蚅蕿膄肅莄螅肀膅蒇薈羆膄蕿螃袂膃荿薆袈膂蒁袁膇膁薃蚄肃膀蚆袀罿腿莅蚂袅艿蒇袈螁芈薀蚁聿芇艿袆羅芆蒂虿羁芅薄羄袇芄蚆螇膆芃莆薀肂芃蒈螆羈莂薁薈袄莁芀螄螀莀莃薇聿荿薅螂肅莈蚇蚅羀莇莇袀袆莇葿蚃膅莆薂衿肁蒅蚄蚂羇蒄莃袇袃肁蒆蚀蝿肀蚈袅膈聿莈螈肄肈蒀羄羀肇薂螆袆肆蚅蕿膄肅莄螅肀膅蒇薈羆膄蕿螃袂膃荿薆袈膂蒁习题4.11.如果3+4+k=，求k,a,b．解将左边向量相加，与右边对应分量比较得解方程组得，k=3,a=-1/3,b=3．2.证明：如果=则++=证前一式的左边===++比较前一式的右边，后一式得证．1
3、.β能不能由{α1,α2,α3,α4}线性表出？①α1=，α2=，α3=，α4=，β=②α1=，α2=，α3=，α4=，β=证①β能由{α1,α2,α3,α4}线性表出的充分必要条件是存在数x1,x2,x3,x4使x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β上式相当于一个线性方程组，其增广矩阵B=→→→→对应线性方程组无解，所以β不能由{α1,α2,α3,α4}线性表出．②对应线性方程组的增广矩阵为B=→→→→对应的线性方程组有解，所以β能由{α1,α2,α3,α4}线性表出．2.证明：{ε1,ε2}与等价．证首先显然
4、能由{ε1,ε2}线性表出；又因ε1=+，ε2=-，即{ε1,ε2}能由线性表出．所以{ε1,ε2}与等价．4*.设U=Span(α1，α2，…，αs),αi∈Fn，i=1,2,…,s，W是一个子空间．证明：如果αj∈W，j=1,2,…,s，则UÍW（这个结论表明：由α1，α2，…，αs生成的子空间是包含{α1，α2，…，αs)}的Fn的最小子空间）．证对于任意α∈U，存在数k1，k2，…，ks，使α=k1α1+k2α2+…+ksαs，由于W是一个子空间，对数乘满足封闭性，且αj∈W，所以kjαj∈W，j=1,2,…
5、,s；由W对加法满足封闭性，从而k1α1+k2α2∈W，（k1α1+k2α2）+k3α3∈W，…，（k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1）+ksαs∈W．所以UÍW．习题4.31.下述说法对吗？①如果有F中的数k1,k2,…,ks,使k1α1+k2α2+…+ksαs=0，则向量组{α1,α2,…,αs}线性相关．②如果有F中不全为零的数k1,k2,…,ks,使k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则向量组{α1,α2,…,αs}线性无关．解①说法不对．例如对于向量，，取k1=k2=0，有k1ε1+k2ε2=0，而
6、ε1,ε2是线性无关的．②说法不对．例如对于向量，，取不为零的数k1=k2=1，有k1ε1+k2ε2≠0，而α1,α2是线性相关的．2.下列向量线性相关，还是线性无关？为什么？①，，②，，，解①令H=→→→→对应的齐次线性方程组HX=0只有零解，所以α1，α2，α3线性无关．②令H=→→→→→对应的齐次线性方程组HX=0有非零解，所以α1，α2，α3，α4线性相关．3.设向量组{α1,α2,α3}线性无关，下述向量组哪些线性无关？①{0,α2,α3}②{α2,α1+α3,α2}③{α1+2α2,α2-3α3,α2+α
7、3,α1+4α2+α3}④{α1,4α1-3α2}⑤{α1+α2,α2+α3,α3+α1}答①②③线性相关，④⑤线性无关．4.如果向量组{α1,α2}线性相关，必定有k∈F使α1=kα2吗？如果向量组{α1,α1,…，αs}线性无关，则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出吗？答如果向量组{α1,α2}线性相关，不一定有k∈F使α1=kα2，例如当α1≠0，α2=0时，显然{α1,α2}线性相关，但不存在k∈F使α1=kα2．如果向量组{α1,α2,…，αs}线性无关，则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出．否则，
8、利用反证法，假设有一个向量αi能由其余向量线性表出，先写成表示形式，然后通过移项可知与线性无关相矛盾．5*.设β∈(α1,α2,…，αs,αs+1),但βÏ(α1,α2,…，αs)．证明：αs+1∈(α1,α2,…，αs,β)证因为β∈(α1,α2,…，αs,αs+1),所以存在数k1,k2,…,ks,ks+1使β=k1α1+k2α2+…+ks
