利用向量运算提升学生的运算能力

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1、利用向量运算提升学生的运算能力第一，学生要对运算对象——向量有个充分的认识。认识高中阶段向量的价值，向量的作用以及向量出现的背景等。学生对它有所认识以后，那么对它的运算就会自如一点。第二，对向量运算以及运算法则的认识。这一点很重要。比如向量的加法和减法运算，运用三角形法则或者平行四边形法则，认识到向量的加法和减法运算得到的还是一个向量。向量运算满足交换律和结合律，有时可以简化运算。特别在向量的数量积运算，对其定义及运算法则的认识。第三．对于向量运算的应用有所了解。向量可以用来推导三角恒等变换。第四，在对向量运算及运算法则有深刻认识之后，要有针对性的布

2、置课堂或课外作业，重视作业的反馈，至于反馈方式可以当堂反馈，也可以通过批改讲评。特别在题目选择方面，一定要精选题目，既要各种类型的运算都要出现，又要具有代表性。在练习的过程中，培养学生举一反三和举三反一的能力。第五，对向量运算，适当练习和反馈后，总结错误原因，矫正计算错误。掌握公式的推导过程，灵活运用。适当周期性的布置练习进行巩固。【典例解析】例1．已知△中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，，则（ⅰ）（ⅱ）的取值范围是.【解析】设，，，，因为是△的重心，故，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.（ⅰ），故；

3、（ⅱ），那么，当与重合时，，当位于中点时，，故，故但因为与不能重合，故（2）设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则4①（·）－（·）=②

4、

5、－

6、

7、<

8、－

9、③（·）－（·）不与垂直④（3+2）（3－2）=9

10、

11、2－4

12、

13、2中，是真命题的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向（2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知

14、

15、、

16、

17、、

18、－

19、恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；

20、④（3+2）（3－2）=9··－4·=9

21、

22、2－4

23、

24、2成立。故④真。点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。题型2：向量的夹角例2．（1）过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（）（A）4（B）3（C）2（D）1解析：取△ABC为正三角形易得＝3．选B．评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是。（3）已知两单位向量与的夹角为，若

25、，试求与的夹角。（4）

26、

27、=1，

28、

29、=2，=+，且⊥，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：（2）；[来源:学科网]（3）由题意，，且与的夹角为，所以，，4，[来源:学科网ZXXK]，同理可得。而，设为与的夹角，则。（4）C；设所求两向量的夹角为　　　[来源:Z#xx#k.Com]　　即：所以点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握题型3：向量的模例3．已知＝（3，4），＝（4，

30、3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。解析：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）⊥(x+y)·＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y＝０①；又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１；（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１；整理得25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１②；由①②有24xy+25y２＝１③；将①变形代入③可得：y=±；4再代回①得：。点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。题型4：向量垂直、平行的判定例4．已知向量，，且

31、，则。解析：∵，∴，∴，∴。例5．已知，，，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算题型5：平面向量在代数中的应用4