对求多元复合函数偏导数问题的探讨

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1、对求多元复合函数偏导数问题的探讨在学习如何对多元复合函数求偏导数过程中，由于多元复合函数的复合关系比较复杂，如果仅仅去记忆求偏导数公式，往往会引起混淆，因此，就要去寻找多元复合函数求偏导数公式的规律，下面从中间变量均是二元函数的多元复合函数偏导数公式中寻找规律。设,,,则从上述公式中可以推得下面三个规律：（1）有几个自变量就有几个求导公式；（2）有几个中间变量，每个公式中就有几项相加；（3）公式中的每一项都是函数对中间变量的（偏）导数乘以中间变量对自变量的（偏）导数。用这三个规律可以写出任何形式的的多元复合函数的偏导数公式，在写出公式之前要先弄清楚什么是中间

2、变量，什么是自变量。设，分析：有两个自变量，则有两个偏导数公式；有三个中间变量，则每个公式有三项相加；公式中的每一项都是函数对中间变量的（偏）导数乘以中间变量对自变量的（偏）导数。则，其中是关于的一元函数，所以用表示导数；，其中对关于求导时，把看成常数，所以最后一项为。例设，求。解此题另一种解法是把代入，得，直接求关于和的偏导数，但该种方法不能求某些特殊多元复合函数的偏导数。例设，求。解把代入，得，不能直接求偏导数。用多元复合函数的的偏导数公式计算，得由于在中与具有对称性，所以把中的换成，得到，此题还可以用对数求导法，分为两步：第一步在两边取自然对数得即第二

3、步两边分别对求偏导数得所以同样，得对抽象的多元复合函数求偏导数时，可以对中间变量编号，简化解题过程。例设，求。解令，，则，；。如果这样去求偏导数，解题过程稍显复杂，可以把记为第一个中间变量，记为第二个中间变量，则记为，记为，依次类推记为，依次类推记为，所以该题的偏导数可以写出：显然，比上述表示方式简便，且它的二阶混合偏导数为