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1、第21卷第6期高等函授学报(自然科学版)Vol.21No.62008年12月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2008#大学教学#普通物理力学习题的解析方法杨志万(四川理工学院理学院,四川自贡643000)摘要:本文以普通物理的三个典型的力学习题为例,展示了适合于普通物理教学但不同于理论力学的拉格朗日方程的能量解析方法。关键词:系统;广义坐标;能量解析方法;隔离;约束反力中图分类号:0369文献标识码:A文章编号:1006-7353(2008)06-0015-02在普通物理习题教学中,对
2、于物体对象比较解本题所述的系统受同轴(圆柱体)和绳多的力学系统,如果用一般的隔离体解法,往往涉的约束,只有一个自由度.取圆柱体在t时刻相对及的运动学和动力学方程较多,加上一些表示几何于初始时刻(t=0)转过的角度U为广义坐标.则关系和约束反力的辅助方程,会大大增加解方程时dU同轴圆柱体的角速度为Uc(=),角加速度为dt的麻烦和初等数学运算量。大学物理课程在运算能2力方面的培养重点应放在高等数学的微积分和矢Ud(=dU1、m2两物体的位移大小分别为RU、2);mdt量运算方面.借典型例题以系统为研究对象、借鉴rU,速度大小分别为RUc、rUc,加速度大小分别为(
3、但不同于)理论力学的能量解析方法先解出核心RUd、rUd.物理量,再与隔离法结合求解约束反力、几何量及(1)取M、m、m1、m2及绳和地球的系统,只有时间量等,不仅清新自然,而且简洁直观。重力势能与动能相互转化.根据机械能守恒定例1如图所示,质量分别为M和m,半径律有分别为R和r的两个同轴圆柱体固定在一起.不11212212能伸长的轻质细绳绕在两柱体上,分别与质量为(mr+MR)Uc+m1(RUc)+2222m1和m2的两物体相连,挂在两圆柱体的两侧.已12知m1m2,且初始位置平齐,离地高度均为h,不2m2(rUc)=m1gRU-m2grU计摩擦阻力.试求系
4、统释放以后在物体着地之前:方程两边对时间求导数有(1)同轴圆柱体转动的角加速度B;(2)两侧细绳12122(mr+MR)UcUd+m1RUcUd+张力T1、T2;(3)m1经多长时间着地;m1着地时222m2距离地面的高度H.m2rUcUd=m1gRUc-m2grUc因为UcX0,解得同轴圆柱体的角加速度2(m1R-m2r)gB=Ud=22(M+2m1)R+(m+2m2)r(2)对m1、m2根据动能定理分别有12(m1g-T1)RU=m1(RUc)2收稿日期:2008-08-06.作者简介:杨志万(1963)),男,四川省平昌县人,副教授,研究方向:物理教育、理
5、论物理.15第21卷第6期高等函授学报(自然科学版)Vol.21No.62008年12月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)200812方程两边对时间求导数有(T2-m2g)rU=m2(rUc)211m1xcxd+m2xcxd+m2xcxd+m2xcxd=方程两边对时间求导数有222(m1g-T1)RUc=m1RUcUdm1gxc-k(x+D0)xc2(T2-m2g)rUc=m2rUcUd化简得解得(m1+2m2)xd+k(x+D0)-m1g=0T1=m1g-m1RUd考虑到2m1R(m1
6、R-m2r)gkD0=m1g=m1g-22(M+2m1)R+(m+2m2)r得T2=m2g+m2rUd(m1+2m2)xd+kx=0=m2g+2m2r((m1R-m2r)g所以,系统的运动微分方程为22(M+2m1)R+(m+2m2)r2dxk(3)对m1的下落过程,由于加速度为a1=dt2+m1+2m2x=02RUd=const(常量),所以有h=1/2a1t,得例3如图所示的运222hh[(M+2m1)R+(m+2m2)r]动系统中,可沿光滑水平面t==a1R(m1R-m2r)g移动的重物M1的质量为m1着地时m2距地面的高度为m1;可在铅直面内摆动的摆H=
7、h+rU=h+rh=(1+r)h锤M2的质量为m2.两个物RR体用较长的无重刚杆连接,杆长为l.试求此系统例2如图所示的系统中,A轮沿水平面纯微幅摆动的周期。滚动,轮心以劲度系数为k解整个运动系统受水平面和刚杆的约束,的轻质弹簧联于墙上,质量有两个自由度.取图示的直角坐标系,设t时刻为m1的物块C以轻质细绳M1、M2的坐标各为(x1,y1)、(x2,y2).选x1和U跨过定滑轮B联于A轮轮为广义坐标.则有心。A、B两轮皆为半径为y1=0,x2=x1-lsinU,y2=lcosU,v1=xc1R、质量为m2的均质圆盘。取M1、M2、杆和地球的系统,只有重力势能当弹
8、簧较软,细绳能始终保持张
