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《2006年数学三考研试题及其解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2006年数学三考研试题及其解答一填空(1)(2)设函数的某领域内可导,且,则(3)设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分(4)设矩阵,E为2阶单位矩阵,矩阵E满足BA=B+2E,则(5)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则(6)设总体X的概率密度为为总体的简单随机样本,其样本方差,则E=__________二选择题(7)设函数具有二阶导数,且为自变量x在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则()(A)(B)(C)(D)(8)设函数在x=0处连续,且,则(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在
2、(9)若级数收敛,则级数()(A)收敛(B)收敛(C)收敛(D)收敛(10)设非齐次线性微分方程有两个的解为任意常数,则该方程通解是:(A)收敛(B)收敛(C)收敛(D)收敛(11)设均为可微函数,且,已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是()(A)若(B)若(C)若(D)若(12)设,均为n维列向量,A是矩阵,下列正确的是()(A)若线性相关,则线性相关(B)若相关,则无关(C)若无关,则相关(D)若无关,则无关(13)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B得第一列得-1倍加到第2列得C,记,则(A)
3、(B)(C)(D)(14)设随机变量X服从正态分布,随机变量Y服从正态分布,且,则必有()(A)(B)(C)(D)三解答题(15)设,求(Ⅰ)(Ⅱ)(16)计算二重积分,其中D是由直线,所围成的平面区域.(17)证明:当.(18)在XOY坐标平面上,连续曲线L过点其上任意点处的切线低斜率与直线OP的斜率之差等于(Ⅰ)求L的方程:(Ⅱ)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时,确定a的值.(19)求幂级数的收敛域及和函数.(20)设4维向量组问a为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性
4、无关组线性表出.(21)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组Ax=0的两个解.(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得;(Ⅲ)求A及,其中E为3阶单位矩阵.(22)设随机变量X的概率密度为为二维随机变量的分布函数,求:(Ⅰ)Y的概率密度(Ⅱ)(Ⅲ)(23)设总体X的概率密度为,其中是未知参数为来自总体的随机样本,记N为样本值中小于1的个数,求:(Ⅰ)的矩估计;(Ⅱ)的最大似然估计.题解高数一、填空题：（1）【解】，而数列有界，，所以.故.（2）设函数在的某邻域内可导,且，，则【解】
5、由题设知，，两边对求导得，两边再对求导得，又，故.（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分【解】方法一：因为，，所以.方法二：对微分得，故.二、选择题：（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A).(B).(C). (D) . [Ａ]【解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ).（8）设函数在处连续，且，则(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在[C]【解】由知，.又因为在处连续，则.令，则.所以存在，故本题选（C）.（
6、9）若级数收敛，则级数(A)收敛. （B）收敛.(C)收敛. (D)收敛.[Ｄ]【解】由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法：取，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； 取，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.（10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ） [Ｂ]【解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是 ，故原方程的通解为 ，故应选(Ｂ).（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，
7、下列选项正确的是(A)若，则.(B)若，则.(C) 若，则.(D) 若，则. [Ｄ]【解】作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则，即.消去，得 ,整理得 .（因为），若，则.故选（Ｄ）.三、解答题：（15）设,求(Ⅰ)；(Ⅱ).【解】(Ⅰ).(Ⅱ)（通分）（16）计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.【解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以.（17）证明：当时，.【解】令，则，且.又，（），故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即.（18）在坐标平
8、面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.【解】(Ⅰ)设曲线的方程为，则由题设可得，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得，又，所以.故曲线的方程为.(Ⅱ)与直线（）所围成平面图形如右图所示
