近年考研数学三微积分题目整合及其详细解答.pdf

《近年考研数学三微积分题目整合及其详细解答.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、微积分-考研题参考答案第二章极限与连续一．选择题：1+x1．（98）设函数f(x)=lim，讨论函数f(x)的间断点，其结论为（）n→∞1+x2n（A）不存在间断点．（B）存在间断点x=1．（C）存在间断点x=0．（D）存在间断点x=−1．2n解：当

2、x

3、<1时，limx=0，有f(x)=1+x；n→∞2n当

4、x

5、>1时，limx=∞，有f(x)=0；n→∞1+11−1当x=1时，有f(x)==1；当x=−1时，有f(x)==0．1+11+1⎧0,x≤−1;⎪⎪1+x,−1

6、,x>1.显然x=−1处连续，x=1处间断，选择：（B）．2．（00）设对任意的x，总有ϕ(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[g(x)−ϕ(x)]=0，则limf(x)（）x→∞x→∞（A）存在且等于零．（B）存在但不一定等于零．（C）一定不存在．（D）不一定存在．12解：有可能limg(x)与limϕ(x)都不存在，如ϕ(x)=x,f(x)=x+,g(x)=x+，x→∞x→∞x2x2则有ϕ(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[g(x)−ϕ(x)]=0，但limf(x)=∞，x→∞x→∞选择：（D）．

7、x

8、sin

9、(x−2)3．（04）函数f(x)=在下列哪个区间内有界，（）2x(x−1)(x−2)（A）(−1,0)．（B）(0,1)．（C）(1,2)．（D）(2,3)．解：间断点有x=0,1,2，其中x=0是可去间断点，x=1,2是无穷间断点，故有界区间不能包含x=1,2，选择：（A）．⎧⎛1⎞⎪f⎜⎟,x≠0;4．（04）设f(x)在(−∞,+∞)内有定义，且limf(x)=a，g(x)=⎨⎝x⎠则（）x→∞⎪⎩0,x=0.（A）x=0必是g(x)的第一类间断点．（B）x=0必是g(x)的第二类间断点．（C）x=0必是g

10、(x)的连续点．（D）g(x)在点x=0的连续性与a的取值有关．⎛1⎞解：limg(x)=limf⎜⎟=limf(u)=a．当a=0时，g(x)在x=0处连续，当a≠0时，间断，x→0x→0⎝x⎠u→∞选择：（D）．1+5．（07）当x→0时，与x等价的无穷小量是（）x（A）1−e．（B）ln(1+x)．（C）1+x−1．（D）1−cosx．+x1121解：当x→0时，1−e~−x，ln(1+x)~x，1+x−1~x，1−cosx~(x)=x，222选择：（B）．16．（08）设0

11、)n=（）n→∞−1−1（A）a．（B）a．（C）b．（D）b．1−n1⎡−n⎤n解：因01，lim⎛b⎞⎟=0，lim(a−n+b−n)n=lima−11+⎛b⎞=a−1⋅10=a−1，⎜⎢⎜⎟⎥an→∞⎝a⎠n→∞n→∞⎢⎣⎝a⎠⎥⎦选择：（B）．3x−x7．（09）函数f(x)=的可去间断点的个数为（）sinπx（A）1．（B）2．（C）3．（D）无穷多个．3x−x解：因f(x)=的间断点处有sinπx=0，即x取任何整数n，sinπx333x−xx−x当整数n≠0,±1时，n−n≠0，lim

12、=∞，即x=n为f(x)=的无穷间断点，x→nsinπxsinπx000323232x−x01−3x1x−x01−3x2x−x01−3x2且lim=lim=，lim=lim=，lim=lim=，x→0sinπxx→0πcosπxπx→1sinπxx→1πcosπxπx→−1sinπxx→−1πcosπxπ3x−x故x=0,±1都是f(x)=的可去间断点，sinπx选择：（C）．二．填空题：23x+521．（95）limsin=．x→∞5x+3x22223x+523x+526解：当x→∞时，sin~，有limsin=

13、lim⋅=，xxx→∞5x+3xx→∞5x+3x56填空：．52．（95）lim[1+2+L+n−1+2+L+(n−1)]=．n→∞(1+2+L+n)−[1+2+L+(n−1)]n12解：原式=lim=lim==，n→∞1+2+L+n+1+2+L+(n−1)n→∞1122n(n+1)+n(n−1)222填空：．2x13．（99）设函数f(x)=a(a>0,a≠1)，则limln[f(1)f(2)Lf(n)]=．n→∞n22112nn(n+1)lnaln(a⋅aLa)(1+2+L+n)lna21解：原式=lim=li

14、m=lim=lna，n→∞n2n→∞n2n→∞n221填空：lna．2n1⎡n−2na+1⎤4．（02）设常数a≠，则limln⎢⎥=．2n→∞⎣n(1−2a)⎦1nnn(1−2a)⋅1⎡n−2na+1⎤⎡1⎤⎡1⎤1−2a1解：limln⎢⎥=limln⎢1+⎥=limln⎢1+⎥=lne1−2a=，n→∞⎣n(1−2a)⎦n→∞⎣n(1−2a)⎦n→∞⎣