北邮2010级线性代数期末试题及解答

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1、2010级线性代数与工程应用期末试题解答（B卷）一、填空题（每小题4分，共40分）1.写出Z上所有的一次不可约因式：（x，x+1）。2232312.设PQ,,,,APQ则121217122011A=（）。47101402**3.设A020，A表示A的伴随矩阵，则A=(020)。0020024.设A为阶方阵，且A10，若记Aaaa,,，则123aaaaa4,3,=-30。312125.设n阶矩阵各行元素之和都等于零，且A

2、的秩为n-1，则齐次线性方程组TAx0的通解为（kk(1,1,...,1),R）。6.线性空间为V，给出V上的线性变换的核的定义：Ker

3、,V()0。7.设,,...,为n维欧式空间V的一组标准正交基，则,,...,的度量矩12n12n阵是E。n1148.设4是非奇异矩阵A的一个特征值，请给出矩阵AE10的一个25125特征值。6nnn9.设aa12,,...,anR，则集合Va21,aaa2,...,ni

4、1是否构成R的子空i1间？否。22210.已知

5、二次型f(,,)2xxxx4xx4xx5x8xx5x，则该二次123112132233222型的矩阵A=254.24532二、（12）判断有理数域Q上的多项式f()2xxxx481，32gx()2x5x52x是否互素，并求多项式uxvxQx(),()[]使得((),())()()()()fxgxuxfxvxgx。解：（5分）将上式写出来可得2f()1()xgxxx312gx()(2x1)(x3x1)32dx()((),())1fxgx,即f(),()xgx

6、互素。（3分）2于是3gx()(2x1)(x3x1)gx()(2x1)[()1fxgx()](2x1)()(2fxx2)()gx，（2分）11即((),())fxgx(21)()(22)()xfxxgx，3311所以ux()(21),()xvx(22)x（2分）33使得((),())()()()()fxgxuxfxvxgx。202622三、（10）设矩阵A224,B844，求矩阵X，使其满足矩阵方0224461程32AXB，并求

7、X。0121解：由32AXB得X(3AB)114,（4分）2210012100114010(,)114010XE012100210001038021102110100211012100010421（5分）0023210013112232111X421。（1分）31122四、（10分）求下列向量组的极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示，其中(

8、2,0,2),(3,1,1),(2,1,0),(2,1,4)。123423222322TTTT解：(,,,)01110111（3分）123421040222152015102201110111（3分）00000000所以该向量组的秩为2，,是一个极大无关组，且1215，。（4分）31241222aa111nnn五、（10分）R上的线性空间RaR,,ij

9、1,...,n，ijaann1nnnTnnABR,，规定(,)ABtrAB()，证明：R是一个欧式空间。nn证明：ABCR,,,kR，TT（1）(AB,)()()(trABtrBABA,)；TTT（2）(,ABC)(trABC())(trACBC)4TTtrAC()()(trBCAC,)(BC,)；（5分）TT（3）(,)(kABtrkAB())ktrAB()(,)kAB；TT（4）(,)AAtrAA()0,且当且仅当At0()0时rAA，nn因此线性空间R是一

10、个欧式空间。（5分）11a1六．（12分）已知矩阵Aa11,1，且方程组Ax有无穷多个a112T解，求a的值，并