概率论与数理统计ppt教学课件第11讲

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1、概率论与数理统计第十一讲北京工业大学应用数理学院前面讨论了随机变量及其分布。如果我们知道了随机变量X的概率分布，那么，关于X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。最常用的数字特征是：期望和方差。4.1.1离散型随机变量的数学期望概念引入：某车间对工人生产情况进行考察，车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量。如何定义X的平均值？§4.1数学期望第四章数字特征若统计了10

2、0天小张生产产品的情况，发现：可以得到这100天中每天的平均废品数为32天没有出废品；30天每天出一件废品；17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。可以想象：若另外再统计100天，其中不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，即另外100天每天的平均废品数也不一定就是1.27。n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到这n天中，每天的平均废品数为(假定每天至多出三件废品)一般来说,若统计了n天,这是以频率为权的加权平均由频率与概率的关系，不难想到：求废品数X的平均值时

3、，用概率替代频率，得平均值为：这是以概率为权的加权平均这样，就得到一个确定的数——随机变量X的期望(均值)。定义1:设X是离散型随机变量,概率分布为P{X=xk}=pk,k=1,2,…。也就是说：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数和。如果有限,则称为X的数学期望(或均值)。在X取可列无穷个值时，级数绝对收敛可以保证“级数之值不因级数各项次序的改排而发生变化”，这样E(X)与X取值的人为排列次序无关。例1：有4只盒子，编号为1,2,3,4。现有3个球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。用X表示其中至少有一个球的盒子的最小号码，E(X)。解：

4、首先求X的概率分布。X所有可能取的值是1,2,3,4。{X=i}表示i号盒中至少有一个球，i=1,2,3,4。为求P{X=1}，考虑{X=1}的对立事件：{1号盒中没有球}，其概率为(3/4)3，因此{X=2}表示{1号盒中没有球，而2号盒中至少有一个球}，类似地得到：于是，1.两点分布：X∼B(1,p),0

5、件产品是否为次品相互独立,求一天中调整设备次数的期望。解：用X表示10件产品中的次品数，则X~B(10,0.1)，每次检验后需要调整设备的概率为用Y表示一天中调整设备的次数，则Y~B(n,p)，其中n=4,p=0.2639。所求期望3.泊松分布:X∼P()，其中>0，则E(X)=.4.1.2连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，密度函数f(x)在数轴上取很密的点x0

6、的值可用xi来近似地替代。这正是的渐近和式。阴影面积≈近似,因此,X与以概率取值xi的离散型r.v该离散型r.v的数学期望是从该启示出发，我们给出如下定义。定义2：设X是连续型随机变量，概率密度为f(x),如果有限，则称为X的数学期望。也就是说：连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值.例3：设随机变量X的概率密度为求E(X)。解：若X~U[a,b],即X服从[a,b]上的均匀分布,则若X服从参数为λ的指数分布，则由随机变量数学期望的定义，不难计算出：若X服从，则这意味着：若从该地区抽查很多成年男子，分别测量他们的身高。则这些身高的平均值近似地

7、为1.68。已知某地区成年男子身高X~例4：设某型号电子管的寿命X服从指数分布,平均寿命为1000小时,计算P{1000

8、。一般说来，这是比较复杂的事。那么,可否不求g(X)的分布，而只根据X的分布来计算E[g(X)]呢？答案是肯