概率论与数理统计ppt教学课件第16讲

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1、概率论与数理统计第十六讲主讲教师：李学京北京工业大学应用数理学院标准正态分布的上分位数z．z•常用数字-z/2＝z1-/2/2/2z/2•-z/2•抽样分布的概念样本统计量的概率分布称为抽样分布（samplingdistribution）样本是通过对总体的随机抽样获得的样本统计量是随机变量，有一定的概率分布简单随机样本抽样是完全随机的-总体中的每个个体都有相同的机会被抽中抽样是彼此对立的-每次抽样的结果都不会影响到其他抽样的结果抽样分布的概念原总体样本1样本2样本n新总体n统

2、计量§6.4正态总体6.4.1χ2分布它是由正态分布派生出来的一种分布。定义1:设X1,X2,…,Xn相互独立，且均服从正态分布N(0,1),则称随机变量服从自由度为n的卡方分布，记成。分布的密度函数为由分布的定义，不难得到其如下性质：进一步，由中心极限定理可以推出,n充分大时,近似于标准正态分布N(0,1)。分布密度函数图形χn2分布上分位点有表可查，见附表4。对于给定的(0,1),称满足条件的点χn2()为χn2分布的上(右)分位点。分布分位点t分布的概率密度为为服从自由度n的t分布，记为T～

3、tn。6.4.2t分布定义2:设X～N(0,1),Y～χn2,且X与Y相互独立，则称随机变量t分布的概率密度图形当n充分大时，f(x;n)趋近于标准正态分布的概率密度。数学期望与方差t分布t分布双侧分位数表：附表4（p.279）若T～tn,对给定的(0,1)，称满足条件t分布的分位点的点tn()为tn分布上分位点。t分布的上分位点有表可查，见附表3。tn分布上分位点示意图6.4.3F分布则称F=(X/m)/(Y/n)服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布。记成F~Fm,n。定义3：F分布的概

4、率密度为若F～Fm,n，对给定的(0,1),称满足条件F分布的分位点的点Fm,n()为F分布的上分位点。.F分布上分位点有表可查，见附表5。F分布上分位点示意图★一个需要注意的问题:这个关系式的证明如下：证明：若X~Fm,n，则Y=X-1~Fn,m。依分位点定义，上式等价于再根据Y(~Fn,m)的上分位点定义，有这就证明了(1)式。在通常F分布表中，只对比较小的值,如=0.01,0.05,0.025及0.1等列出了分位点。但有时我们也需要知道比较大的分位点，它们在F分布表中查不到。这时我

5、们就可利用分位点的关系式(1)把它们计算出来。例如：对m=12,n=9,α=0.95,我们在F分布表中查不到F12,9(0.95)，但由(1)式，知可从F分布表中查到★还有一个重要结果:若X~tn,则X2~F1,n。请同学们自己证明。定理1：6.4.4正态总体样本均值与样本方差的分布定理的证明超出了教学范围，我们把它放在了教材§6.4末尾的附录(p143—145)中。定理的内容在后面几章的讨论中将多次用到，希望大家牢记。例1：设某物体的实际重量为(未知),现在用一台天平称量它,共称n次,得到X1,X2,…

6、,Xn。假设每次称量过程彼此独立,且无系统误差,则可认为这些测量值独立同分布,均服从正态分布N(,2),方差2反映了天平及测量过程的总精度。我们通常用样本均值根据定理1(基本定理),有再根据正态分布的性质(见p110,例4.2.6),知例如：当=0.1时，也就是说：我们的估计值与真值的偏差不超过的概率约为99.74%,并且随称量次数n的增加，偏差界限将越来越小。若取n=10，则若取n=100，则例2：在设计导弹发射装置时，重要内容之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。对于某类导弹发射装置，弹着点

7、偏离目标中心的距离服从N(,2)，这里2=100米2。现在进行了25次发射试验，用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差。求:S2超过50米2的概率。解:根据基本定理，知查附表4,得到:所以，小结本讲首先介绍数理统计中三个常用的重要统计量的分布:χ2分布、t分布和F分布;然后以定理的形式(定理1)给出了正态总体样本均值与样本方差的分布及其相关结论。