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《线性代数 考研数学 试题试卷剖析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Youstupidcunt!魔剑考研2014考研cunnilinguspenisvagina2015考研2003年线性代数考研试题[数一]2⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎛23⎞1.从R的基α=⎜⎟,α=⎜⎟到基β=⎜⎟,β=⎜⎟的过渡矩阵为⎜⎟1⎜0⎟2⎜−1⎟1⎜1⎟2⎜2⎟⎜−1−2⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠2⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞【详解】根据定义，从R的基α=⎜⎟,α=⎜⎟到基β=⎜⎟,β=⎜⎟的过渡1⎜0⎟2⎜−1⎟1⎜1⎟2⎜2⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠矩阵为−1−1⎡11⎤⎡11⎤P=[α,α][β,β]=⎥.1212⎢⎥⎢⎣0−1⎦⎣12⎦⎡11⎤⎡11⎤⎡23⎤=⎢⎥⎢⎥=⎢
2、⎥.⎣0−1⎦⎣12⎦⎣−1−2⎦2.设向量组I：α,α,?,α可由向量组II：β,β,?,β线性表示，则[D]12r12s(A)当rs时，向量组II必线性相关.(C)当rs时，向量组I必线性相关.⎛0⎞⎛1⎞⎛0⎞【详解】用排除法：如α=⎜⎟,β=⎜⎟,β=⎜⎟，则α=0⋅β+0⋅β，但β,β1⎜0⎟1⎜0⎟2⎜1⎟11212⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛1⎞⎛1⎞线性无关，排除(A)；α=⎜⎟,α=⎜⎟,β=⎜⎟，则α,α可由β线性表示，但β线1⎜0⎟2⎜0⎟1⎜0⎟1211⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛1⎞⎛1⎞⎛0
3、⎞性无关，排除(B)；α=⎜⎟,β=⎜⎟,β=⎜⎟，α可由β,β线性表示，但α线性无1⎜0⎟1⎜0⎟2⎜1⎟1121⎝⎠⎝⎠⎝⎠关，排除(C).故正确选项为(D).3.设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是[B](A)①②.(B)①③.(C)②④.(D)③④.【详解】若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n-
4、秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，⎡10⎤可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如A=⎢⎥，⎣00⎦Youstupidcunt!魔剑考研2014考研cunnilinguspenisvagina2015考研⎡00⎤B=⎢⎥，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),⎣01⎦故正确选项为(B).⎡322⎤⎡010⎤⎢⎥⎢⎥−1*4.设矩阵A=232，P=101，B=PAP，求B+2E的特征值与特征向⎢⎥⎢⎥⎢⎣223⎥⎦⎢⎣001⎥⎦*量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.【
5、详解】经计算可得⎡5−2−2⎤⎡01−1⎤⎢⎥−1⎢⎥A*=−25−2，P=100，⎢⎥⎢⎥⎢⎣−2−25⎥⎦⎢⎣001⎥⎦⎡700⎤−1*⎢⎥B=PAP=−25−4.⎢⎥⎢⎣−2−23⎥⎦从而⎡900⎤⎢⎥B+2E=−27−4，⎢⎥⎢⎣−2−25⎥⎦λ−9002λE−(B+2E)=2λ−74=(λ−)9(λ−)3，22λ−5故B+2E的特征值为λ=λ=,9λ=.3123当λ=λ=9时，解9(E−A)x=0，得线性无关的特征向量为12⎡−1⎤⎡−2⎤⎢⎥⎢⎥η=1,η=0,1⎢⎥2⎢⎥⎢⎣0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦所以属于特征值λ=λ=9的所有特征向量为12⎡−1⎤⎡−2⎤⎢⎥⎢⎥kη+
6、kη=k1+k0，(其中k,k是不全为零的任意常数).11221⎢⎥2⎢⎥12⎢⎣0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦当λ=3时，解3(E−A)x=0，得线性无关的特征向量为3Youstupidcunt!魔剑考研2014考研cunnilinguspenisvagina2015考研⎡0⎤⎢⎥η=1，3⎢⎥⎢⎣1⎥⎦⎡0⎤⎢⎥所以属于特征值λ=3的所有特征向量为kη=k1，(其中k≠0为任意常数).3333⎢⎥3⎢⎣1⎥⎦5.已知平面上三条不同直线的方程分别为l:ax+2by+3c=0，1l:bx+2cy+3a=0，2l:cx+2ay+3b=0.3试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=.0
7、【详解】：必要性设三条直线l,l,l交于一点，则线性方程组123⎧ax+2by=−3c,⎪⎨bx+2cy=−3a,(*)⎪⎩cx+2ay=−3b,⎡a2b⎤⎡a2b−3c⎤⎢⎥⎢⎥有唯一解，故系数矩阵A=b2c与增广矩阵A=b2c−3a的秩均为2，于是⎢⎥⎢⎥⎢⎣c2a⎥⎦⎢⎣c2a−3b⎥⎦A=.0a2b−3c222由于A=b2c−3a=(6a+b+c)[a+b+c−ab−ac−bc]c2a−3b222=(3a+b+c)[(a−b)+(b−c)+(c−a)],222但根据题设(a−b)+(
