概率论与数理统计教程答案(魏宗舒版)chapter03

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1、第三章连续型随机变量3.1设随机变数ξ的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率：（1）P(ξ=a)；（2）P(ξ≤a)；（3）P(ξ≥a)；（4）P(ξ>a)解：（1）P(ξ=a)=F(a+0)−F(a)；（2）P(ξ≤a)=F(a+0)；（3）P(ξ≥a)=1-F(a)；（4）P(ξ>a)=1−F(a+0)。13.2函数F(x)=是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果21+x（1）−∞

2、内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；（3）F(x)在（-∞,0)内单调上升、连续且F(−∞,0)，若定义~⎧F(x)−∞

3、分布密度。23.4设随机变数ξ具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)=p(−x),证明：对任意的1aa>0,有（1）F(−a)=1−F(a)=−∫p(x)dx；20（2）P（ξa)=2[1−F(a)]。−a∞证：（1）F(−a)=∫p(x)dx=1−∫p(x)dx−∞−a−∞a=1+∫ap(−x)dx=1−∫−∞p(x)dx0=1−F(a)=1−∫−∞p(x)dxa1a−∫p(x)dx=−∫p(x)dx；020aa（2）P(ξ

4、)−1；（3）P(ξ>a)=1−P(ξ0,b>0是两个常数，且a+b=1。证明12F(x)=aF(x)+bF(x)12也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为F(x)与F(x)都是分布函数，当x

5、im[aF(x)+bF(x)]=a+b=112x→∞x→∞F(x−0)=aF(x−0)+bF(x−0)=aF(x)+bF(x)=F(x)1212所以，F(x)也是分布函数。1取a=b=，又令2⎧0x≤0⎧0x≤0⎪F1(x)=⎨F2(x)=⎨x00⎪⎩1x>1这时⎧0x≤0⎪1+xF(x)=⎨01显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6设随机变数ξ的分布函数为−x⎧1−(1+x)ex≥0F(x)=⎨⎩0x<0求相应的密度函数，并求P(ξ≤1)。d−x−x解

6、：[1−(1+x)e]=xe，所以相应的密度函数为dx−x⎧xex≥0p(x)=⎨⎩0x<02P(ξ≤1)=F(1)=1−。e3.7设随机变数ξ的分布函数为⎧0x<0⎪2F(x)=⎨Ax0≤x<1⎪⎩1x≥1求常数A及密度函数。解：因为F(1−0)=F(1)，所以A=1，密度函数为⎧2x0≤x<1p(x)=⎨⎩0其它3.8随机变数ξ的分布函数为F(x)=A+Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。π解：因为limF(x)=A+B(−)=0x→−∞2πlimF(x)=A+B=1x→+∞2所以11A=,B=2π因而111F(x)=+arctgx,p(x)=F′(x)=。22ππ

7、(1+x)3.9已知随机变数ξ的分布函数为⎧x01.3),P(0.2<ξ<1.2)。⎧0x≤0⎪x12⎪⎪∫ydy=x021P(ξ<0.5)=F(0.5)=8P(ξ>1.3)=1−P(ξ≤1.3)=1−F(1.3)=0.245P(0.2<ξ<1.2)=F(1.2)