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1、《线性代数》分类题解第一章行列式第一章行列式知识点1二、三阶行列式的计算公式aa1112=aa−aa11222112aa2122aaa111213aaa=aaa+aaa+aaa−aaa−aaa−aaa212223112233132132122331132231122133112332aaa313233例1利用对角线法则计算下列三阶行列式201abc111xyx+y（1）14−−1；（2）bca；（3）abc；（4）yxyx+.222−183cababcx+yxy201解（1）141−−=2(4)30(1)(1)118×−×+×−×−+××−0132(1)81(4)(1)××−×−×−×
2、−×−−183=−++248164−=−4abc333（2）bca=acbbaccbabbbaaa++−−−ccc=3abca−−−bccab111222222（3）abc=bc++−−−caabacbacb=()abbcca−−−()()222abcxyx+y333（4）yxyx+=+++++x()()xyyyxxyxyy()x−y−+−()xyxx+yxy322333=3(xyxyy+−−)3xy−3yxx−−−yx33=−2(x+y)101例2已知211=0，求x的值.32x101解由211=++−−−=−=xx4032010得,x=1.32x广西科技大学理学院韦振中第1页201
3、2-6-8《线性代数》分类题解第一章行列式知识点2排列的逆序数的求法从排列的第二个元素起开始数,该元素前有几个数比它大,这个元素的逆序就是几,将一个排列所有元素的逆序相加,即得到这个排列的逆序数.例3按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1234；（2）4132；（3）3421；（4）2413；（5）13…(2n−1)24…(2)n；（6）13…(2n−1)(2)n(2n−2)…42.解(1)该排列为标准排列,其逆序数为0;(2)第2个元素前有1个比它大的数,故第2个元素的逆序是1;第3个元素前有1个比它大的数,故第3个元素的逆序是1;第4个元素前有2个比它大的数,故
4、第4个元素的逆序是2;故排列4132的逆序数为1+1+2=4.(3)第2个元素前没有比它大的数,故第2个元素的逆序是0;第3个元素前有2个比它大的数,故第3个元素的逆序是2;第4个元素前有3个比它大的数,故第4个元素的逆序是3;故排列3421的逆序数为0+2+3=5.(4)第2个元素前没有比它大的数,故第2个元素的逆序是0;第3个元素前有2个比它大的数,故第3个元素的逆序是2;第4个元素前有1个比它大的数,故第4个元素的逆序是1;故排列2413的逆序数为0+2+1=3.(5)在排列13…(2n−1)24…(2n)中.第2个元素前没有比它大的数,故第2个元素的逆序是0;同样,第3,4,…
5、，n个元素的逆序也为0；第n+1个元素前有n−1比它大的数,故第n+1个元素的逆序是n−1；第n+2个元素前有n−2比它大的数,故第n+1个元素的逆序是n−2；……………；第2n−1个元素前有1比它大的数,故第2n−1个元素的逆序是1；第2n个元素前没有比它大的数,故第2n个元素的逆序是0.1故排列13…(2n−1)24…(2n)的逆序数为12+++−=L(1)(1)nn−n.2(6)在排列13…(2n−1)(2)n(2n−2)…42中.第2个元素前没有比它大的数,故第2个元素的逆序是0;同样,第3,4,…，n,n+1个元素的逆序也为0；第n+2个元素前有2比它大的数,故第n+2个元素
6、的逆序是2；第n+3个元素前有4比它大的数,故第n+3个元素的逆序是4；……；第2n−1个元素前有2(n−2)比它大的数,故第2n−1个元素的逆序是2(n−2)；第2n个元素2(n−1)前没有比它大的数,故第2n个元素的逆序是2(n−1).故排列13…(2n−1)(2)n(2n−2)…42的逆序数为24+++−=−L2(1)(1)nnn.广西科技大学理学院韦振中第2页2012-6-8《线性代数》分类题解第一章行列式知识点3n阶行列式的定义aaLa11121naa2122La2nttD==∑∑(1)−=aaa123ppp123LLanpnn()−1aap1212papnMMOMaaLan
7、n12nn其中p1p2p3Lpn为自然数1,2,L,n的一个排列,t为这个排列的逆序数,这种乘积共有n!项,D为这n!项的代数和.每项中的n个数来自行列式的不同行不同列.例4写出四阶行列式中含有因子aa的项.1123t分析由n阶行列式的定义知,四阶行列式的一般项为(1)−aaaa，其中t为pppp的逆序1234pppp12341234数．由于pp==1,3已固定，pppp只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为12123400++
