一类函数项级数的求和

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1、第17卷第5期工科数学Vol.17,N0.52001年10月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYOct.2001一类函数项级数的求和沈云海(浙江水电专科学校，杭州310016)[摘要]以微分方程为工具，推出一类一致收敛且具有分析性质的函数项级数的求和公式，进而推广了五种基本幂级数川的和函数公式.〔关健词〕函数项级数;和函数;线性微分方程;一致收敛「中图分类号]0173.1[文献标识码〕C〔文章编号〕1007-4120(2001)05-0098-04本文中，约定级数习u=(x)在区间(a,b)内收敛,u

2、=(x)具有连续导数u='(x)，且习u='(x)在(ab)内一致收敛，使艺u=(x)具有逐项微分的分析性质.定理1设级数}if(n)V(x)(1)二二飞nl在((a,b)内收敛且可逐项微分，of(a,b),p(0)=O,f(0)#0，则和函数S(x)具有以下两种形式:1.1若{f(n)}是公比q#0的等比数列，则20、瓦乙，S(x)二f(0)e9"'(a

3、o}if(n+n1J)V(x).(4)(i)若{f(n)}是等比数列，有f(n+1)=汀(n)，故S'(x)=qo(x)SW.在T(0)=0,f(0)=X:。的条件下，解微分方程得S(x)=f(0)e""(a

4、x)=eP(x'仁d}p(x)+f(0)](a

5、)是公差等差数列，则S(x)[1一d+(ad+1一d)抓x)][1十抓x)]“一’(a

6、1少JFr.合f(n)a(a-1)...(a-n+l)__，、二app(x)Lq'、U’十“L一一一一一n!—一lp-lx)-11qT(x)矛f(n)(a一1)⋯(a一n+l)，一，，_、.we勺es-兀厂.山—一灭n-l万厂一一一，,c，J即S'(X)=aq}d(x)S(x)一q}o(x)S'(x).在T(0)=0,f(1)=1条件下，S(0)二解微分方程得、(二)一粤巨1+。*(二)〕·(。<二<，).Y特别地，当q=1时，(6)式为1+2a(a-1)..n.(1a-n+1)g,(x，一〔‘+、，〕“(、“，·(9)(ii)

7、由等差数列f(n+l)=f(n)+df(n)a(a-1)...(a-n+1)--1，、S'(x)一0(x)艺一一一一一一一万产r一下下二一一Vkxl、刀—ll:(f(n)+d)a...(a一n+l)_刀，、一ao(x)If(0)+“+答—Y'、x夕。艺(f一(n)十d)(a-1)...(a-n+l)_，，、]—甲、J少I间气7l一上少止J，，、「二，_、nf(n)a"二((a一n+l)_刀，、几_:，、矛f(n)a...(a一n+l)_，‘、一aTlx)LJlv)-白一一n!一一-一(pkxl」一cplx)自一一-一n!一一一yr

8、lx/，，，、r..子a...(a一n十1)于(a一1):(a一n+l)l，，、-t-aatplx)11-t-,,—一尸Jee一一一一下一一一丁下下一一一一I(pkx)，L之绍川二筑kn一I月J-即S'(x)二atd(x)·S(x)一}D(x)·S