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《级数求和与函数展开习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十一章函数级数级数的收敛、求和与展开机动目录上页下页返回结束三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和付式级数展开法一、数项级数的审敛法√二、求幂级数收敛域的方法4、5、7节•求部分和式极限三、幂级数和函数的求法求和逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解（在收敛区间内）•数项级数求和机动目录上页下页返回结束常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）机动目录上页下页返回结束当m=–1时机动目录上页下页返回结束例4.求级数的和函数解:易求出幂
2、级数的收敛半径为1,及收敛,x=1时级数发散，则机动目录上页下页返回结束因此由和函数的连续性得:而及机动目录上页下页返回结束例5.解:设则所求级数和＝S(1/2)机动目录上页下页返回结束而故机动目录上页下页返回结束例6.求幂级数法1易求出级数的收敛域为机动目录上页下页返回结束法2先求出收敛区间则设和函数为机动目录上页下页返回结束解:(1)显然x=0时上式也正确,故和函数为而在x≠0P258题8.求下列幂级数的和函数：级数发散,机动目录上页下页返回结束(4)机动目录上页下页返回结束显然x=0时,和为0;根据和函数的连续性,有x=
3、1时,级数也收敛.即得机动目录上页下页返回结束解:原式=的和.P258题9(2).求级数机动目录上页下页返回结束四、函数的幂级数和付式级数展开法•直接展开法•间接展开法—利用已知展式的函数及幂级数性质—利用泰勒公式机动目录上页下页返回结束1.函数的幂级数展开法例如.将函数展开成x的幂级数.因为把x换成,得例7.将展成x－1的幂级数.解:机动目录上页下页返回结束例8.将在x=0处展为幂级数.解:因此机动目录上页下页返回结束也可以先计算导函数的展式，再积分求出原函数的展式例9.将函数展开成x的幂级数.解:简介目录上页下页返回结束练习
4、：将arctanx展成x的幂级数。30例10.设,将f(x)展开成x的幂级数,的和.(01考研)解:于是并求级数机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法设f(x)是周期为2的周期函数,则f(x)的傅立叶级数为：①②简介目录上页下页返回结束收敛定理,展开定理：设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有x为间断点其中为
5、f(x)的傅里叶系数.x为连续点简介目录上页下页返回结束周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数在[0,]上函数的傅里叶展开法作奇周期延拓,展开为正弦级数作偶周期延拓,展开为余弦级数简介目录上页下页返回结束例11.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:设f(x)是周期为2的周期函数,它在机动目录上页下页返回结束说明:当时,级数收敛于机动目录上页下页返回结束例12.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,机动目录上页下页返回结束注意:在端点x=0,,级数
6、的和为0,与给定函数机动目录上页下页返回结束因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,机动目录上页下页返回结束说明:令x=0可得即机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束五、练习简介目录上页下页返回结束简介目录上页下页返回结束简介目录上页下页返回结束简介目录上页下页返回结束简介目录上页下页返回结束简介目录上页下页返回结束简介目录上页下页返回结束简介目录上页下页返回结束
