揭示数学本质是数学教学的灵魂

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1、揭示数学本质是数学教学的灵魂——从“任意角的三角函数”的教学案例谈起张健（江苏省邳州市教育局教研室）《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：“形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里……高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。”这一理念要求教师在教学中要揭示数学本质。本人认为：揭示数学本质是数学教学的灵魂。而在实际教学中，许多教师由于对所教授知识的数学本质感悟不深、理解不透，导致教学变成了漫无目的、信马由缰的活动——

2、没有灵魂，徒具形式！下面针对这些问题，从所听的一节公开课“任意角的三角函数”谈起，并试图通过案例分析和重新设计，谈谈在数学教学中如何揭示数学本质的问题，愿与同行磋商。一、教学案例图1师：在初中我们学习了锐角，并且研究了锐角三角函数。上节课我们把锐角推广到了任意角，接下来我们应该研究什么？生：任意角的三角函数。师：如图1，OA、OB分别是角α的始边和终边，怎样定义任意角α的三角函数呢？生1：连接AB，过点B作BC⊥OA，垂足为C，仿照锐角三角函数的定义可以定义任意角α的三角函数为sinα=,cosα=,tanα=。师：A、B两点怎么来的？生1：分别在OA、OB上任意取的。师：O点能取吗

3、？生1：这……（教师用几何画板演示角α的任意性，并组织学生继续讨论。）图2生2：用角α的补角来定义。如图2，在OB上任取一点E，过点E作EFOA交AO的延长线于点F。在Rt△OFE中，可以定义sinα=,cosα=,tanα=。（学生误认为钝角∠AOB就是角α。）师：角α的补角是谁？生2：∠EOF是角α的补角。师：她说的有问题吗？图3生3：角α不一定是钝角，它是任意角，只是角α的终边在那个位置上！生（惊讶地）：对呀！它不一定有补角啊!生4：我是在平面直角坐标系下定义任意角的正弦的。（在黑板上画图3说明。）生4：以点O为原点，以始边OA为x轴，建立平面直角坐标系。然后在OB上任取一点P

4、(x,y)，于是类比锐角三角函数-5-，我们可以定义任意角的三角函数为sinα=,cosα=,tanα=。师：很好！这样做摆脱了直角三角形的限制，对任意的角都是适用的，因此这样定义任意角的正弦是比较“和谐”的。（教师用几何画板动画演示，然后板书任意角的三角函数的定义。）师：定义中是否需要限制什么条件？生5：我觉得x≠0，否则tanα没有意义了！师：这个条件针对角α应该怎样限制呢？生5：角α的终边不能落在y轴上。师：这需要把什么样的角去掉呢？生6：x≠90°+k·180°(k∈Z)。师：我们昨天学习了弧度制，那这个条件还可以怎样表示呀？生6：x≠+kπ(k∈Z)。……二、案例分析在本教

5、学案例中，教师试图通过对初中所学习的“锐角三角函数”的概念的复习，引导学生对如何定义“任意角的三角函数”的概念展开探究，从而突出“概念的形成过程”。从教学的视角看，这节课的教学理念新颖，数学活动充分调动了学生学习的积极性，学生的参与度高，课堂气氛热烈，教学民主，学生的主体地位得到了很好的体现。但从数学的视角看，这节课的教学没有抓住数学概念的本质，特别是当学生的思维“离经叛道”时，教师没有很好地进行引导，使数学活动向着有意义的方向进行，从而导致概念形成过程教学变成了信马由缰的活动，学生在“蒙”和“碰”中前行，漫无目的。问题产生的主要原因是教师没有透彻地领悟概念的本质，教学抓不住“本质”

6、就会变得无的放矢。在本案例中，虽然生4对“任意角的三角函数”的定义给出了比较完美的回答，但这绝不是该生在理解和感悟的基础上给出的。生4的回答可能基于两个原因：一是该生可能是受前面学习的“任意角”的概念（是在平面直角坐标系中研究任意角的）的启发，从而产生了联想；二是该生可能在课前进行了预习，了解了概念的定义方法。总之，生4比较完美的回答，并不是教师在有效预设的基础上所产生的动态生成。应该说，学生对概念的本质还不清楚，对概念的理解还很模糊。我们之所以要定义一个数学概念，无非是出于两个原因：一是它（指数学概念）具有一定的合理性，这种合理性指的就是数学概念的本质属性；二是它有用，正因为它有用

7、，我们才有必要去定义它（为了使用方便）。那么，“任意角的三角函数”概念的本质是什么呢？我们不难发现，当角α固定后（也就是角α的始边和终边可视为固定），若以它的顶点O为原点，以角α的始边为x轴，建立平面直角坐标系，则不论我们在角α的终边上如何取一点P(x,y)，总有比值（其中r＝OP）是三个定值，这三个比值不随点P的变化而变化，这就是“任意角的三角函数”概念的本质。实际上，初中学习的“锐角三角函数”概念的本质也在于此：当锐角α固定后，我们以角α的两边为边可以