初二数学经典难题

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1、初二数学经典难题1.（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，ZPAD=ZPDA=15°.求证：APBC是正三角形.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。专题：证明题。分析：在正方形内做ADGC与AADP全等，根据全等三角形的性质求出APDG为等边，三角形,根据SAS证出△DGC^APGC,推出DC=PC,推出PB=DC=PC,根据等边三角形的判定求出即可.解答：证明：•・•正方形ABCD,・・・AB二CD,ZBAD=ZCDA=90°,VZPAD=ZPDA=15°,・・・PA二PD,ZPAB=ZPDC=75°,在

2、止方形内做ZXDGC与ZXADP全等，・・・DP=DG,ZADP=ZGDC=ZDAP=ZDCG=15°,・•・ZPDG=90°-15°-15°二60°,•••△PDG为等边三角形（有一个角等于6（）度的等腰三角形是等边三角形），・・・DP二DG二PG,・・・ZDGC=180°-15°-15°=150°,・・・ZPGC二360°-150°-60°=150°=ZDGC,在ADGC和APGC屮"DG二PG

3、・15°=60°,•••△PBC是正三角形.点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三介形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求.1.(10分)已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.求证：ZDEN=ZF.考山••J八、、•三角形中位线定理。专题：分析：证明题。连接AC,作GN〃AD交AC于G,连接MG,根据屮位线定理证明MG〃BC,且GM二丄BC,2根据AD=BC证明GM=GN,可得ZGNM二ZGMN,

4、根据平行线性质可得：ZGMF=ZF,ZGNM=ZDEN从而得出ZDEN=ZF.解答：证明：连接AC,作GN〃AD交AC于G,连接MG.TN是CD的屮点，且NG〃AD,・・.NG二丄AD,G是AC的中点,2乂・・・M是AB的中点，・・・MG〃BC,且MgJbC.2TAD二BC,ANG=GM,AGNM为等腰三角形,・・・ZGNM=ZGMN,•・・GM〃BF,・•・ZGMF=ZF,•・・GN〃AD,・・・ZGNM=ZDEN,.ZDEN=ZF.点评:此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明AGNM为等腰三角形.2.(1()分)如图，分别以AABC的

5、边AC、BC为一边，在AABC夕卜作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的屮点,求证：点P到AB的距离是AB的一•半.考点:专题:分析:梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。证明题。分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R,S,T,Q,则PQ」（ER+FS）,易证解答:2RtAAER^RtACAT,贝ljER=AT,FS=BT,ER+FS二AT+BT二AB,即nJ得证.解：分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R,S,T,Q,则ER〃PQ〃FS,TP是EF的屮点，・・・Q为RS的屮点，・・・PQ为梯形EFSR的中位线，.・・PQ=1（ER+FS

6、）,2AE=AC（正方形的边长相等），ZAER=ZCAT（同角的余角相等），ZR=ZATC=90°,ARtAAER^RtACAT（AAS）,同理RtABFS^RtACBT,・・・ER二AT,FS=BT,.•.ER+FS二AT+BT二AB,.・・PQJab.2点评：此题综合考查了梯形屮位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键.1.（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且ZPBA=ZPDA.求证：ZPAB二ZPCB.考点：专题:分析：四点共圆；平行四边形的性质。证明题。根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使PE=A

7、D=BC,利用AD〃EP,AD〃BC,进而得11!ZABP=ZADP=ZAEP,得出AEBP共圆，即可得出答案.解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使PE=AD=BC,・.・AD〃EP,AD〃BC.・・・四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形,・・・AE〃DP,BE〃PC,・•・ZABP=ZADP=ZAEP,可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）.可得ZBAP=ZBEP=ZBCP,・•・ZPAB=ZPCB.点评：此题主耍考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键.1.（10分）P为正方形ABC

8、D内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求