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1、高二文科数学复数1.复数的概念及其表示形式：(1)形如a+bi(a,bwR)的数称为复数，分别叫做复数的实部、虚部当b=0时，G+勿表示实数；当bHO时，Q+加表示虚数；当(2=0,/?工0时，a+勿表示纯虚数，显然，｛纯虚数｝u｛虚数｝,当a=0,/?工0时，a+bi表示纯虚数，显然，｛纯虚数｝u｛虚数｝,当a=0fb^O时，a+勿表示纯虚数，显然，｛纯虚数｝u｛虚数｝,｛实数｝U｛虚数｝=｛复数｝=c通常复数Z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Im乙两个重要命题：_定理1：复数z是实数的充要条件是2=z；定理2：复数z是纯虚数的充
2、要条件是z+z=O(z^O)(2)复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平面上的点来表示复数，一般地，町用点Z(a,b)表示复数a+bi,(a,bgR),或用向量OZ表示复数a+bi.(3)复数木目等：a+bi=c+di0a=cllb=d.a+bi=0^=>a=OHb=0这是解决复数问题时进行虚实转程的工具：(4)共辘复数：z=a+bi-^z=a-hi(a,bwR)互为共辘复数。在复平面上，互为共轨复数的两个点关于实轴对称：另外
3、z
4、=z'实数(b=0)注：复数的分类：复数Z=d+勿］占敕.(一般虚数(
5、bHO,心0)虚数山工0)仁+亠叫/纯虚数(bH0卫=0)虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3+i,6+2i也没有大小。(5)复数的模：设z=a+bi(a,bwR)在复平面上对应的点为Z(a,b)，则把向量31的模(即线段OZ的长度)叫做复数z的模。z=^la2+b2(>0)积或商的模可利用模的性质(1)
6、z1----z,J=
7、z1
8、-
9、z2
10、(6)共辘复数的运算性质:Z]+Z9=Z]+z°;Z2z"=(z)"；z・z=
11、zf=
12、zf(1)复数的模的运算性质:IzJ-IzJ^Izj+zJ^IzJ+IzJ(当与可，乙对应的向量6
13、1,oz2同向时,右边的等号成立：当OZ「OZ?反向时，左边的等号成立)
14、zI
15、-
16、z2
17、<
18、z1-z2
19、<
20、z1
21、+
22、z2
23、(取等号的情形与以上相反)
24、Z[
25、Z
26、
27、—■ZZ2z2
28、z
29、(8)关于复数，与恥-*爭・•4n+l•4/?+2二—L•4z?+3•4/?+4=i4二1——3—2——2693=LCD?=CO,1+69+692=0;0)=L0)=3、1+69+69=0.注：熟记常用算式：-=-z,(1+沪=2i,(1-z)2=-2/,—=/,—=-/i1-z1+z1.复数的运算：(1)四则运算法则(可类比多项式的运算)①加法
30、：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)ia,b,c,dgR②减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i③乘法：(67+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i④除法：(67+bi)*(c+di)=也=(a+bi)(c-di)=…(转化为乘法运算)c+di(c+di)(c—di)简记为“分母实数化”。特例：(a+bi)(a—bi)=+1,；(1+z)2=2z,(1-z)2=-2Z.(2)开平方运算:a+bi的平方根x+yi(a,b,x,ygR)可由(x+y/)2=a+bi利用复数相等的充要条件转
31、化为解实方程组。(3)复数加法、减法的儿何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则。复数减法即向量的减法，满足三角形法则。Z]・Z2对应的向量，是以Z2的对应点为起点，指向Z]的对应点的向量，
32、Z]・Z2
33、表示复平面内与Z],Z2对应的两点的距离，女口：
34、z・i
35、表示Z与i的对应的点的距离；y±：Iz-z.Hz-zJz对应的点的轨迹是线段ZZ2的垂直平分线；
36、z-z°
37、二厂，Z对应的点的轨迹是一个圆；
38、z-Z]l+lz-z?
39、=2°(2乙
40、<2°),z对应的点的轨迹是一个椭圆；z-z{-z-z21
41、=2a(ZxZ2>
42、2a),刁对应的点的轨迹是双曲线。2.复数与方程：(1)含z的复数方程：可设出z的代数形式，利用复数相等转化为实方程组。(2)实系数一元二次方程：ax2+bx+c=0(aHO)注意两种题型：(1)X[—X2△>0时，方程有两个不等实根；△=()时，方程有两个相等实根；此吋有
43、兀
44、『=卜i2ca-Z?±V-Az△<0时，方程有两个互为共觇的虚根。其中%!=x2o(2)卜」+卜2虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知
45、x2-x」是实系数一元二次方程ax?+bx+c=0的两个根，求
46、X
47、2-X」的方法：(1)当厶=b2_4dcno时，卜2_西=Jg+兀2尸_4兀宀=一J4ac-b，.卜2(2)当△二b・—4acv°时，已知x“X2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，求x?+X
48、的方法:一西
