浅谈数学不等式理论及其应用

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1、2003年4月焦作大学学报

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第2期JOURNALOFJIAOZUOUNIVERSITYApr.2003浅谈数学不等式理论及其应用祁
锋(焦作工学院,河南焦作
454000)摘要:文章扼要地介绍了数学不等式理论及其应用的意义、历史、现状、发展、地位和作用,包括不等式理论发展过程中的重要事件、不等式理论的哲学、不等式理论方面的最新著作、20世纪末的最后几年创刊的数学不等式理论及其应用领域的专业杂志、在澳大利亚创建的学术团体RGMIA的情况介绍等。
关键词:数学不等式;RGMI

2、A;历史;发展;哲学;著作;杂志中图分类号:O178
文献标识码:A
文章编号:1008
7257(2003)02
0059
06inequalities).1.数学不等式理论的意义我们无法想象没有H
lder不等式、Cauchy不等式、不等式存在于数理科学的方方面面,无处不在。例Minkowski不等式、Young不等式、Chebycheff不等式、如解析不等式、矩阵不等式、概率统计不等式、特殊函Steffensen不等式、Hadamard不等式、Gram不等式以及数不等式、变分不等式、几何不等式、泛函不等式、积其它一

3、些不等式的数学是什么状况。甚至一套数学理论分不等式、微分不等式、代数不等式、数论不等式

往往最终归结为一个不同寻常的不等式。极限的定义建数学不等式在纯粹数学和应用数学(例如:多维统计、立在不等式的基础上;凸函数的概念是通过不等式来定概率论、分析、优化论(线性规划及其推广半正定规义的;三角形不等式在各种度量的定义中不可或缺;划)、信息论、逼近论、图论)中扮演着关键角色。在工1893年建立的与行列式有关的Hadamard不等式是1900程学和管理科学中,人们时常需要最优解,当无法得到年产生的积分方程的Fredholm理论的

4、基础(essential)和最优解时,不等式就是基本的(essential)。根据有关统基本工具;在Chebycheff不等式建立之初便给出了在概计结果,在LinearAlgebraanditsApplications杂志上发率论中的应用;Hilbert双重级数不等式在积分方程理论表的论文中,有三分之一的论文与不等式有关系。中有应用;Hardy不等式在奇异积分理论中非常重要;著名数学家HaraldBohr说过、著名数学家G.H.Opial不等式、Landau不等式和Gronwall不等式在微分方Hardy在他的伦敦数学会

5、主席任期届满的告别辞中和著程理论中不可或缺;Steffensen不等式对积分中值定理的名数学家D.S.Mitrinovic在他的名著
Analytic某些形式中的常数给出了估计;Shannon不等式是信息Inequalities
的序言中都引述到:
所有分析学家要花费论的基础;1930年由Hardy和Littlewood建立的最大泛一半的时间通过文献查找他们想要用而又不能证明的不函不等式(maximalfunctionalinequality)和同时期证明等式
(Allanalystsspendhalftheirtime

6、huntingthrough的Marcinkiewicz弱型不等式在奇异积分的泛函分析理论theliteratureforinequalitieswhichtheywanttouseand及1950年发表的Calderone-Zygmund理论中处于中心地cannotprove)。分析学家MichielHazewinkel在位;Stein的著作SingularIntegralsandDifferentiability
InequalitiesInvolvingFunctionsandTheirIntegralsandPr

7、opertiesofFunctions几乎整个建立在不等式的基础之Derivatives
一书的序言中也讲道:
有时我有这样的感上;Laplace算子的最大值原理与偏微分方程理论密不可觉,数学(特别是分析学)就是不等式
(Isometimes分;二维的Wirtinger不等式将函数的模与其梯度的模联havethefeelingthatmathematics(especiallyanalysis)isall系起来;偏微分方程的现代理论和研究很大程度上是以inequalities)。E.F.BeckenbachandR.Be

8、llman在在恰当的空间上做分析为中心的,而这些与嵌入理论和
Inequalities
一书中称
算术平均值与几何平均值不等Soblev型不等式有关;
Riemann假设
可以表述成一个式
是不等式理论的一块奠基石(Thearithmetic-mean算子的最小奇异值的不等式;VanderWaarden猜想是一-ge