《物理学基本教程》课后答案 第三章 功和能

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1、第三章功和能3-1汽车在平直路面上行驶，若车与地面间的摩擦力恒定，而空气阻力与速度的平方成正比．设对于一辆质量为1500kg的汽车总的阻力（其中F以N为单位，v以m/s为单位），求当车速为60km/h，加速度为1.0m/s2时，汽车引擎所损耗的瞬时功率．分析作用力的瞬时功率等于该力与物体获得的速度的乘积．解当汽车的加速度为a时，引擎牵引力为F1，应用牛顿第二定律，运动方程为则根据瞬时功率的定义，汽车引擎所损耗的瞬时功率为3-2如习题1-7所述，若海岸高h=10m，而猛烈的大风使船受到与绳的牵引方向相反的恒定的作用力F=5000N，如图3-2所示．当岸

2、上的水手将缆绳由50m收到30m后，求缆绳中张力的改变量，以及在此过程中水手所作的功．Fh图3-2分析水手拉缆绳的过程中，是通过缆绳将力作用在船上实现船体运动作的功．由于缆绳中的张力是变力，直接计算它的功比较困难．根据动能定理，合外力的功等于物体动能的增量，船在此过程中开始前和结束后都保持静止，船只在水平方向发生位移，水平方向只受缆绳张力水平分量和恒定阻力F作用，则水手通过缆绳张力所作的功的量值应等于恒力F所作的负功．解缆绳长度由l1=50m收到l2=30m的过程中，位移为s，水手作的功为设此过程中开始前缆绳张力为FT1、结束后为FT2，它们的水平方

3、向分量都应与恒力F等大而反向，因此有则F0x0x2x图3-33-3质点沿x轴运动，由x1=0处移动到x2=4m的过程中，受到力的作用，其中x0=2m，F0=8N，作出F－x曲线，求在此期间力F对质点所作的功．分析当质点沿x轴作直线运动时，如果外力是质点位置坐标x的函数，质点从位置x1运动到x2的过程中，根据功的定义，该力所作的功为，即为F－x图像中x1到x2区间曲线与x轴线包围面积的代数和．解根据题意，F－x曲线如图3-3所示．按照功的定义，有由图3-3可见，x1到x2区间曲线与x轴线包围面积的代数和为零，与上面的计算结果一致．3-4在x轴线上运动的

4、物体速度为v=4t2+6（其中v以m/s为单位，t以s为单位），作用力（其中F以N为单位，t以s为单位）沿x轴正向．试求在t1=1s和t2=5s期间，力F对物体所作的功．分析当质点沿x轴作直线运动时，如果外力是时间t的函数，根据功的定义，无法直接积分计算，通常可利用微分关系式，将积分变量转换为时间t进行计算．积分变量代换后，积分的上下限也要作相应的代换．解根据功的定义3-5在光滑的水平桌面上固定有如图3-5(a)所示的半圆形屏障，质量为m的滑块以初速v0沿屏障一端的切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为，（1）证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦

5、力对它所作的功为；（2）说明上述结果为什么与圆弧半径无关．Ffv0vFN（a）（b）图3-5分析当外力无法表示成位移的函数时，功就不能直接由定义式积分进行计算．如果能确定物体初末状态的速度，可以应用动能定理，求出物体动能的增量就等于合外力对物体所作的功．证（1）首先应计算出滑块从屏障另一端滑出时的速度．设滑块在屏障中位于如图3-5(b)所示的位置，在竖直方向无运动，在水平面内受到屏障压力FN和摩擦力Ff作用，此时速度为v，设屏障半径为R，应用牛顿第二定律所得运动方程为法向：　　　　　　　　　　切向：　　　　　　　　　　由于Ff＝FN，得　　　　　　利

6、用关系式，上式可写为　　　　　　　　　　　(1)由初末条件：当时，；当时，，将上式分离变量并积分：(2)得滑块从屏障另一端滑出时的速度为(3)则摩擦力在此期间所作的功为（2）由（1）和（2）式可以看出，当滑块发生角位移时，速度的变化只与角位移有关，与半径无关，因此（3）式给出的末速度也只与半圆的张角有关，这就导致最终结果与圆弧半径无关了．3-6一个质点在指向中心的平方反比力的作用下，作半径为r的圆周运动，求质点运动的速率和总机械能．（提示：选取距力心无穷远点的势能为零．）分析与物体间距离平方成反比的力是自然界中普遍存在的一种力，例如万有引力和电荷间的

7、库仑力．如果该力指向中心，计算势能时，从空间任意一点到势能零点（无穷远点）积分的路径方向与力的作用方向相反，积分表达式的矢量乘积变为标量乘积后要取负号．解质点只在指向中心的力的作用下作圆周运动，当速率为v时，法向加速度为，则质点的法向运动方程为得选取距力心无穷远为势能零点，则势能为总机械能为3-7在力的作用下，质点在xy平面内运动，(1)分别计算质点由原点O经路径OBA和路径OA移动到达A点该力所作的功，其中AB是以O为圆心R为半径的一段圆弧，如图3-7（a）所示；(2)计算沿任意路径由位置P(x1,y1)到Q(x2,y2)该力所作的功，并由此证明该

8、力是保守力．分析yyALFRdsFPr1rdrQr2OO　　　　　　　　　　　Bxx（a）（b）图3-7解（