曲线积分的换元法

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1、第３２卷第４期大学数学Ｖｏｌ．３２，№．４２０１６年８月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＡｕｇ．２０１６曲线积分的换元法宁荣健，彭凯军（合肥工业大学数学学院，合肥２３０００９）［摘要］给出了曲线积分的换元法，丰富了曲线积分的计算方法．［关键词］曲线积分；换元法；平面曲线；空间曲线；变换［中图分类号］Ｏ１３；Ｏ１７２．２［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１６）０４－００６２－０６１问题的提出在数学分析和高等数学课程的教学过程中，分别介绍了定积分的换元法和重积分的换元法，那么曲线积分是否有换元呢？理论上说应该是可以肯

2、定的，但是具体涉及到两类曲线积分，其换元法分别是什么？下面我们来具体讨论．２主要结论定理１（对弧长的平面曲线积分换元法）设平面曲线Ｌ的方程为φ（ｘ，ｙ）＝０，变换｛ｘ＝ｘ（ｕ，ｖ），）ｙ＝ｙ（ｕ，ｖ将ｕＯｖ平面上的平面曲线Ｌ′一对一地变为ｘＯｙ平面上的Ｌ，其中φ（ｘ，ｙ）在Ｌ上具有一阶连续偏导数，ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ）在Ｌ′上具有一阶连续偏导数，且（２＋φ′２），（ｘ，ｙ）φ′１２Ｌ≠０（ｕ，ｖ）≠０，Ｌ′ｆ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．则２２槡φ′１＋φ′２∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｆ（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ））ｄｓｕｖ，Ｌ∫Ｌ′烄φ′

3、２烌－１Ｊ烆－φ′１烎烄ｘｘ烌ｕｖ其中ｄｓ＝（ｄｘ）２２，ｄｓ（ｄｕ）２２，Ｊ＝槡＋（ｄｙ）ｕｖ＝槡＋（ｄｖ）．ｙｙ烆ｕｖ烎ｄｘｄｙｄｘ烄φ′２烌证由φ（ｘ，ｙ）＝０得φ′ｄｘ＋φ′ｄｙ＝０，故＝＝ｋ，则，两边单位化得１２－φ′（）ｙ＝ｋφ′２１ｄ烆－φ′１烎［收稿日期］２０１６－０５－１１；［修改日期］２０１６－０６－１２［基金项目］安徽省重大教学改革项目（２０１５ｚｄｊｙ０２０）；受“高等学校大学数学教学研究与发展中心”资助［作者简介］宁荣健（１９６２－），男，副教授，从事计算数学研究和大学数学教学，Ｅｍａｉｌ：ｎ

4、ｒｊｉａｎ＠１２６．ｃｏｍ［通讯作者］彭凯军（１９７９－），男，讲师，从事计算数学研究，Ｅｍａｉｌ：ｌｘｙ＿ｐｋｊ＠１２６．ｃｏｍ第４期宁荣健，等：曲线积分的换元法６３１ｄｘ１烄φ′２烌ｄｘｄｓ烄φ′２烌（），即．ｄｓｄｙ＝±φ′２＋φ′２－φ′（）ｄｙ＝±２＋φ′２－φ′槡１２烆１烎槡φ′１２烆１烎ｘ＝ｘ（ｕ，ｖ），ｄｘｄｕｄｕ－１ｄｘｄｓ－１烄φ′２烌由｛得，进而有Ｊ，两边求ｙ＝ｙ（ｕ，ｖ）（）ｄｙ＝Ｊ（）ｄｖ（）ｄｖ＝Ｊ（）ｄｙ＝±φ′２＋φ′２－φ′槡１２烆１烎烄φ′２烌－１Ｊ烆－φ′烎２＋φ′２１槡φ′１２模得ｄｓｕｖ＝ｄｓ

5、，因此ｄｓ＝ｄｓｕｖ，故２２烄φ′烌φ′＋φ′２槡１２－１Ｊ烆－φ′１烎２２槡φ′１＋φ′２∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｆ（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ））ｄｓｕｖ．Ｌ∫Ｌ′烄φ′２烌－１Ｊ烆－φ′１烎１２２例１计算Ｉ＝ｄｓ，其中Ｌ为曲线ｘ－４ｘｙ＋５ｙ＝１．∮Ｌ槡５－４ｘｙ＋４ｙ２解法一将曲线Ｌ的方程转化为（ｘ－２ｙ）２２＋ｙ＝１．令ｘ－２ｙ＝ｃｏｓｔ，ｙ＝ｓｉｎｔ，得Ｌ的参数方程为ｘ＝ｃｏｓｔ＋２ｓｉｎｔ，｛，，０≤ｔ≤２πｙ＝ｓｉｎｔ故２π１２２Ｉ＝×槡（－ｓｉｎｔ＋２ｃｏｓｔ）＋（ｃｏｓｔ）ｄｔ∫０５－４（ｃｏｓｔ＋２ｓｉｎｔ）ｓｉｎｔ＋

6、４ｓｉｎ２槡ｔ２π２π１２＝×槡１－４ｓｉｎｔｃｏｓｔ＋４ｃｏｓｔｄｔ＝ｄｔ＝２π．∫０槡１－４ｓｉｎｔｃｏｓｔ＋４ｃｏｓ２ｔ∫０ｕ＝ｘ－２ｙ，１－２解法二Ｌ：（ｘ－２ｙ）２２则Ｊ－１＋ｙ＝１．令｛，＝（０１）．ｖ＝ｙ令φ（ｘ，ｙ）＝ｘ２２－４ｘｙ＋５ｙ－１，故φ′＝２ｘ－４ｙ，φ′＝－４ｘ＋１０ｙ，所以１２２２２２２２２，槡φ′１＋φ′２＝槡（２ｘ－４ｙ）＋（－４ｘ＋１０ｙ）＝２槡５ｘ－２４ｘｙ＋２９ｙ＝２槡５－４ｘｙ＋４ｙ烄φ′２烌烄２φ′１＋φ′２烌２ｙ－１２２Ｊ＝＝（ｙ）＝２槡ｘ－４ｘｙ＋５ｙ＝２，烆－φ′１烎烆－φ′１烎－２

7、ｘ＋４且Ｌ′：ｕ２２＋ｖ＝１，故利用定理１得Ｉ＝∫ｄｓｕｖ＝Ｌ′的弧长＝２π．Ｌ′推论１在定理１中，如果Ｊ为正交矩阵，则∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｆ（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ））ｄｓｕｖ．Ｌ∫Ｌ′ｄｘｄｕｄｕ证如果Ｊ为正交矩阵，则（）得ｄｓ＝ｄｓｕｖ．ｙ＝Ｊ（）ｖ＝（）ｖ．ｄｄｄ烄φ′２烌烄φ′２烌或由Ｊ－１２２，也可得ｄｓ＝ｄｓ，故得证．＝＝φ′＋φ′ｕｖ槡１２烆－φ′１烎烆－φ′１烎１ππ例２计算Ｉ＝ｘｄｓ，其中Ｌ为ｙ＝ｌｎｃｏｓｘ，－≤ｘ≤．∫Ｌ１＋ｅ４４－１０解作正交变换ｕ＝－ｘ，ｖ＝ｙ，则ｘ＝－ｕ，ｙ＝ｖ，Ｊ＝（）故由定理１得０１

8、．ｕ１ｅ１１Ｉ＝－ｕｄｓｕｖ＝ｕｄｓｕｖ＝１－ｕ）ｄｓｕｖ＝∫ｄｓｕｖ－ｕｄｓｕｖ，∫Ｌ′１＋ｅ∫Ｌ′１＋ｅ∫Ｌ′（１＋ｅＬ′∫Ｌ′１＋ｅ６４大学数学第３２卷其中Ｌ′为ｖ＝ｌｎｃｏｓｕ，－π≤ｕ≤π，由对称性得１ｄｓｕｖ