概率论与数理统计第七章ppt培训课件

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1、概率论与数理统计计算机科学学院裘国永第七章参数估计总体是由总体分布来刻画的。总体分布类型的判断──在实际问题中，我们根据问题本身的专业知识或以往的经验或适当的统计方法，有时可以判断总体分布的类型。总体分布的未知参数的估计──总体分布的参数往往是未知的，需要通过样本来估计。通过样本来估计总体的参数。称为参数估计，它是统计推断的一种重要形式。例如（1）为了研究人们的市场消费行为，我们要先搞清楚人们的收入状况。假设某城市人均年收入X∼N(,2)。但参数和2的具体值并不知道，需要通过样本来估计。（2）假定某

2、城市在单位时间(譬如一个月)内交通事故发生次数X∼p()。参数未知，需要从样本来估计。参数估计点估计区间估计例如，X∼N(,2),若,2未知,通过构造样本的函数，给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容。点估计区间估计参数估计的类型点估计——估计未知参数的值区间估计——估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值。§7.1点估计要求：（1）理解参数的点估计、估计量和估计值的概念。（2）掌握矩估计法和最大似然估计法。总体的分布函数形式已知，但它的一个或多个参数未知，借助总

3、体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。定义设X1,…,Xn是总体X的一个样本,其分布函数为F(x;),。其中为未知参数,为参数空间,x1,x2,…,xn是相应的样本值。点估计问题就是要构造一个适当的统计量。一、估计量和估计值用其观察值来估计未知参数，称为的估计值,为的估计量。注：在不致引起混淆的情况下,称估计量和估计值为估计,并都记为；二、寻求估计量的方法1.矩估计法2.最大似然法3.最小二乘法4.贝叶斯方法这里我们主要介绍前面两种方法。矩法是基于一种简单的“替换

4、”思想建立起来的一种估计方法。是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。依据：(1)样本矩(2)样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数。依概率收敛于相应的总体矩1.矩估计法（简称“矩法”）矩估计法的具体做法如下(2)从这k个方程中解出j=1,2,…,k那么用诸的估计量Ai分别代替上式中的诸,即可得诸的矩估计量：j=1,2,…,k(1)写出总体的前k阶矩μ1,μ2,,μk,一般是这k个未知参数的函数,记为：i=1,2,…,k设总体的分布函数中含有k个未知参数1,2,,k。(3)即以Ai分别代替

5、上式的可得的矩估计量矩估计量的观察值称为矩估计值。例7.1设总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b未知。是来自X的样本,试求a,b的矩估计量。解：即可得a,b的矩估计量为样本矩总体矩以Ai分别代替上式的解：例7.2设总体X的均值和方差都存在,未知。是来自X的样本,试求的矩估计量。解得于是的矩估计量为解:由矩法,可得α的据估计量例7.3设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数α的矩估计。解得矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布。缺点是，当总体类型已知时，

6、没有充分利用分布提供的信息。一般场合下,矩估计量不具有唯一性。其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性。它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法。它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的。GaussFisher然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇。费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质。2.最大似然法最大似然法的基本思想先看一个简单例子：是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎。一只野兔从前方窜过。如果要你推测，你会如何想呢?只听

7、一声枪响，野兔应声倒下。你就会想，只发一枪便打中，猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率。看来这一枪是猎人射中的。这个例子所作的推断已经体现了最大似然法的基本思想：一次试验就出现的事件有较大的概率。例7.4设总体X服从0-1分布,且P{X=1}=p,用最大似然法求p的估计值。解：总体X的分布律为设x1,x2,…,xn为总体样本X1,X2,…,Xn的样本值,则7-18对于不同的p,L(p)不同,见右下图现经过一次试验,事件发生了，则p的取值应使这个事件发生的概率最大。在容许范围内选择p，使L(p)最大注意到

8、，lnL(p)是L的单调增函数,故若某个p使lnL(p)最大,则这个p必使L(p)最大。所以为所求p的估计值。一般,设X为离散型随机变量，其分布律为则X1,X2,…,Xn取到x1,x2,…,xn的概率为7-21即似然函数与最大似然估计P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}=p(x1;q)p(x2;q)…p(xn;q)记为L(x1,x2,…,xn;q)或L(q),称为样本的似然函数。若X连续,且X~f(x;