2014届高考数学(理)一轮复习讲义：14.2 参数方程(人教a版)

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1、第2讲　参数方程考点梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求

2、出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y－y0＝k(x－x0)(t为参数)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2(θ为参数且0≤θ≤2π)椭圆＋＝1(a>b>0)(t为参数且0≤t≤2π)抛物线y2＝2px(p>0)(t为参数)双曲线－＝1(a>0，b>0)(θ为参数)考点自测1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)．A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线解析　∵ρc

3、osθ＝x，∴cosθ＝代入到ρ＝cosθ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．又∵相加得x＋y＝1，表示直线．答案　D2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.解析　参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－×＝－1，解得k＝－6.答案　－63．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析　题中二次曲线的普通方程为＋＝1左焦点为(－4,0)．答案　(－4,0)4．(2012·湖南)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>

4、0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.解析　曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝.答案　5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．解析　由(0≤θ＜π)得，＋y2＝1(0≤y≤1，－

5、方程化为普通方程：(1)　(2)解　(1)由已知由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,可知(x－3)2＋(y－2)2＝1.(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋t中，得y＝5＋(2x－2)，即x－y＋5－＝0.参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】(2010·陕西)参数方程(α为参数)化成普通方程为________．解析　由得①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1.答案　x

6、2＋(y－1)2＝1考向二　直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)．(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．解　(1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，圆C的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝＝，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为－1.(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cosα＋sinα)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，

7、故Δ＝4(cosα＋sinα)2－12≥0，则sin2≥，即sin≥或sin≤－.又0≤α＜π，故只能sin≥，即≤α＋≤，即≤α≤.故α的范围是.如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．[来源:]解　由消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，由消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝＝，所以所求弦长为2＝.考向三　圆锥曲线的

8、参数方程的应用【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆＋y2＝1所得的弦长．解　由条件可知