等差等比数列经典例题以及详细答案

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1、【本讲教育信息】一.教学内容：等差等比数列综合应用二.重点、难点1.等差等比数列综合题2.数列与其它章节知识综合3.数列应用题【典型例题】[例1]一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。解：等差数列为∴∴∴代入（1）①②∴此三数为2、16、18或、、[例2]等差数列中，，，是等比数列，，，所有项和为20，求：（1）求（2）解不等式解：（1）∵∴∴∴不等式[例3]等差，等比，，，，求证：解：∴*∴∴∴时

2、，[例4]（1）求；（2），求。解：中共个数，依次成等差数列共有数项∴的第一个为∴[例5]已知二次函数在处取得最小值，（1）求的表达式；（2）若任意实数x都满足等式为多项式，，试用表示和；（3）设圆的方程为，圆与外切；是各项都是正数的等比数列，记为前n个圆的面积之和，求。解：（1）设由得∴（2）将代入已知得：上式对任意的都成立，取和分别代入上式得：且，解得，（3）由于圆的方程为又由（2）知，故圆的圆心在直线上又圆与圆相切，故有设的公比为q，则<2>÷<1>得代入<1>得∴[例6]一件家用电器现价

3、2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算（每一个月的利息计入第二个月的本金），那么每期应付款多少？（分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。解析一：设每期应付款x元第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为元，……，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为

4、又所购电器的现价及利息之和为∴解得元∴每期应付款176元解析二：设每期付款x元，则第1期还款后欠款第2期还款后欠款……第12期还款后欠款为第12期还款后欠款应为0∴解得元∴每期应还款176元[例7]设数列的各项都是正数，且对任意都有，记为数列的前n项和。（1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）若，（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意都有。解：（1）在已知式中，当时，∵∴当时，①②①－②得∵∴，即∵适合上式∴（2）由（1）知，③当时，④③－④得∵∴∴数列是等差数列，首项为1，公差为1，

5、可得（3）∵∴[例8]已知点为函数上的点，为函数上的点，其中，设（1）求证：数列既不是等差数列也不是等比数列；（2）试比较与的大小。（1）证：由已知，∴假设是等差数列，则必有（1）而由（1）矛盾∴不是等差数列假设是等比数列，则必有即即矛盾∴不是等比数列综上所述，既不是等差数列，也不是等比数列（2）∴∵∴∴又∵∴[例9]设，有唯一解，，（1）求的值；（2）若。且，求证：；（3）是否存在最小整数m，使得对于任意有成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。（1）解：由，可以化为∴∴当且仅当时，有唯

6、一解从而又由已知得∴，即∴数列是首项为，公差为的等差数列∴∴∵∴，即∴故（2）证明：∵∴∴∴（3）解：由于若恒成立∵∴∴，而m为最小正整数∴[例10]数列是公差的等差数列，其前n项和为，且。（1）求的通项公式；（2）求的最大值；（3）将表示成关于的函数。解：（1）因为所以，函数是增函数由已知，所以（2）因为，所以所以即数列是首项为，公差为1的等差数列所以，（3）由已知（∵）所以【模拟试题】（答题时间：45分钟）1.数列的通项公式是，若前n项和为10，则项数n为（）A.11B.99C.120D.1

7、212.数列的前n项之和为，则的值等于（）A.B.C.D.3.数列的前n项和，则（）A.171B.21C.10D.1614.已知，则n的值为（）A.110B.115C.116D.2315.一个正整数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第8行中的第5个数是（）A.68B.132C.133D.2606.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的

8、工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（）A.4200元—4400元B.4400元—4600元C.4600元—4800元D.4800元—5000元7.数列中，，且，则这个数列前30项的绝对值的和是（）A.700B.765C.－495D.4958.数列5，55，555，…的前n项和为（）A.B.C.D.9.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制数转换成十