如何把一个正整数拆分成几个连续自然数的和

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1、如何把一个正整数拆分成几个连续自然数的和王凯成(陕西省小学教师培训中心710600)1.拆分定理及证明如何把一个正整数拆分为个连续自然数的和呢?定理：若正整数M能拆分成个连续自然数的和，则M=，其中是自然数。证明：设把正整数M分拆为连续自然数n,n+1,…，n+()这个数的和，由等差数列求和公式知：应有M=。设是奇数，，则是整数，那么与都是整数，由M=知，M必是的倍数(否则无解)，M÷=，即有：n=。这时由M=n+(n+1)+…+[n+()]就有：M=，其中是自然数。设是偶数，则应有M=，由不是整数知，不是整数，所以M不是的倍数。设，则M

2、==，与都是正整数，M必是的倍数(否则无解)，M÷m=2n+2m－1，即=2n+－1，n=。这时由M=n+(n+1)+…+[n+()]就有：M=，其中是自然数。所以，把M拆分成(。若是奇数，则M是的倍数；若是偶数，则M不是的倍数，但2M是的倍数)个连续自然数的和，则，即M=，其中是自然数。由于是自然数，即≥0，简化为2M≥(－1)，推出。必要条件即(表示的整数部分)便于应用。如何把正整数M拆分为个连续自然数的和呢?首先确定M大于2小于的奇约数；其次确定2M大于2小于的符合条件的偶约数：不是M的约数，但是2M的约数。确定以后,再运用定理。2

3、.拆分定理的应用例1把15拆分成个连续自然数的和。解：M=15，6。首先确定15大于2小于7的奇约数有3和5。其次确定15×2=30的符合条件偶约数。30大于2小于7的偶约数只有6，6不是15的约数，但6是15×2的约数，6符合偶数条件。当=3时，n==4，15=4+5+6。当=5时，n==1，15=1+2+3+4+5。当=6时，n==0，15=0+1+2+3+4+5。例2把65拆分成个连续自然数的和。解：M=65，12。首先确定65大于2小于13的奇约数只有5。其次确定65×2=130的符合条件偶约数。130大于2小于13的偶约数只有1

4、0，10不是65的约数，但10是65×2的约数，10符合偶数条件。当=5时，n==11，65=11+12+13+14+15。当=10时，n==2,65=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11。例3把30拆分成个连续自然数的和。解：M=30，<8。首先确定30的大于2小于9的奇约数有3和5。其次确定30×2=60的符合条件偶约数。60的大于2小于9的偶约数有4和6，6是30的约数，不合偶数条件；4不是30的约数，但4是30×2的约数，4符合偶数条件。当=3时，n==9，30=9+10+11。当=5时，n==4，30=4+5+6+7+8。

5、当=4时，n==6，30=6+7+8+9。例4把120拆分成个连续自然数的和。解：M=120，＜16。首先确定120的大于2小于17的奇约数有3、5和15。其次确定120×2=240的大于2小于17的偶约数有4、6、8、10、12和16，4、6、8、10、12都是120的约数，不合偶数条件；16不是120的约数，但16是120×2的约数，16符合偶数条件。当=3时，n==39，120=39+40+41。当=5时，n==22，120=22+23+24+25+26。当=15时，n==1，120=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+

6、12+13+14+15。当=16时，n==0，120=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。参考文献[1]余贤华，整数拆分成连续自然数的和探微，中小学数学小学版，2013年第11期P20,21。本文发表于全国中文核心期刊由陕西师范大学主办的《中学数学教学参考初中版》2014年第6期p70,71.笔者简介王凯成，教授，全国优秀教师，教育部第三批国培计划专家库专家，曾宪梓奖获得者，陕西省中小学教师队伍建设专家指导委员会成员,全国初等数学研究会第三届理事会常务理事。在《数学通报》等20多个数学刊物发表论文1

7、55篇，出版论著26本，《陕西教育》月刊特邀编审。近年被陕西师范大学、河南师范大学、宝鸡文理学院、郑州师范学院等邀请给小学数学国培班作专题讲座。710600西安市临潼区秦陵南路53号陕西省小学教师培训中心王凯成13891851076