正整数的等差分拆

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1、万方数据第26卷第5期哈尔滨师范大学自然科学学报NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY正整数的等差分拆魏运(内蒙财经学院)【摘要】讨论了正整数的等差分拆问题，给出了所有大于8的合数等差分拆的充要条件及重要结果．关键词：正整数；等差分拆O引言正整数的分拆是数论、图论、组合数学研究的一个重要课题，正整数的分拆是指将正整数m表示成一个或若干个正整数之和，即m2m1+玑2+⋯+mI其中m。≥l，i=l，2，⋯，后．一般均讨论无序分拆．参考文献[1，2]对于m。，m：，⋯，m。及后没有任何限制的m的分拆的研究已有很多结果．而对m，，m：，⋯，

2、m。有限制的正整数的分拆即等差数列、奇偶分拆、连续分拆等也同样具有研究价值，该文讨论了正整数的一种有限制的拆分，即等差分拆问题，给出了所有大于8的合数能等差分拆的充要条件，并给出了这种拆分的重要结果．1预备知识定义1如果正整数m是整数能表示为某个各项都为正整数且公差不为零的等差数列各项的和，那么这个数列叫做m的一个等差分拆．引理1若方程口戈+6y=c(1)其中o，6，c是整数且o，6都不是0．有一组整数解戈=‰，y=y。，且(口，6)=d，则(1)的一切整数解可以表示为收稿日期：2010—09—20戈=犷争，)，=)，。+争(2)戈2‰一了后，)，2)，o+了后(z)其中．j}∈z．证

3、明见参考文献[3]．引理2关于菇，)，，z，u的方程戈)，+苎掣：：“(3)的全部整数解可表示为茗=蹦=}。一孚如=一。+七，“=}t茗25，，，2r。一丁后，三2一。+俺，“2r‘其中s，z，尼∈。，2s，2t．证明方程(3)同解于方程菇[2)，+(石一1)三]=2H(4)对任意s，￡∈刈丑2I毗，令2M=s￡，则由方程(4)知，方程(3)同整数解于方程组f：一，．、(5)‘I-)J【2y+(≯一1)z=t”71．n2虿5‘·以下求方程(5)的解．当2s时，由于2s￡，所以2h，易知y=÷s￡，。=一￡是方程(5)的一个整数解，又因为(2，s—1)=l，由引理1知，方程(5)的全部整

4、数解可表示为』y=扣一孚后风g．【==一￡+七万方数据哈尔滨师范大学自然科学学报2010年当2I￡时，同样)，=÷眠z=一t是方程(5)的一个整数解，又因为(2，s—1)=1，仍由引理l知，方程(5)的全部整数解可表示为．1jy2争卜(卜1潍，矗叫LJ：=一￡+2詹综上，引理2成立．引理3正整数2m存在满足p2≥p。+1≥4，同时p．、p：为一奇一偶，或p2≥2p。≥8，同时p。、JD：为一奇一偶的分解p。p：，当且仅当m为合数且m≥6．m≠8．证明设2m存在满足p2≥p。+l≥4，同时p。、p：为一奇一偶的分解p。p：，若p。为奇数p：为偶数，则可设pl=2m1+l(ml≥1)，p2

5、=2‘(2m2+1)(￡=l时，m2≥l；￡≥2时，m2≥0)于是m=却lp2=2。1(2m1+1)(2m2+1)；当￡=l，m1、m2≥1，m为合数，且m≥3×3=9；当￡≥2时，显然m为合数，且m≥2×3×l=6，m≠8，若p1为偶数Jp2为奇数，则可设pl=2‘(nl。+1)(￡=1时，mJ≥l；￡≥2时，m1≥0)，p2=2m2+1(m2≥2)，同理可证，m=去-plp2=2。’(2ml+1)(2m：+1)为合数，且m≥6，m≠8．设2m存在满足p2≥2JD{≥8，同时pI、p2都为偶数的分解p。p：，令．pl=2‘(2mI+1)(￡=l时，m1≥l；￡≥2时，m。≥0)p2=

6、25(2，n2+1)(5=l时，，n2≥2；s=2时，m2≥l；s≥3时，m2≥0)．贝0m=÷pIp2=2“”1(2nll+1)(2m2+1)，‘，．易见m为合数，且m≥6，m≠8．反之设m为合数，且m≥6，m≠8，当2／m时，可设m=(2m1+1)(2m2+2)(1≤m1≤，n2)，令pl=(2mI+1)，Jp2=2(2，n2+1)，贝0Plp2=2m，pl、p2为一偶一奇，且p2>p1+l≥4，当2／m时，可设m=2‘(2m+1)(￡=l，2，3时，m≥l，￡≥4时，m≥O)，若￡=l，m=l，令pl=2，7t+1，p2=4；若￡=1，m≥2，令p1=4，p2=2m+1；若￡=2

7、，m=1，令pl=2m+1，p2=8；则都有plp2=2m，pl、p2一奇一偶．且p2>P1+1≥4，若￡=2，m≥2；￡≥3，令p1=4，p2=2’1(2m+1)，则plp2=2m，pl、p2都为偶数

8、P2≥2p．≥8．引理3得证2主要结果定理4当且仅当正整数m为合数且m≥6，m≠8时，m可以等差分拆，且分拆数列由以下(1)式和(2)式全部给出．(n为首项，d为公差，凡为项数)(n，口，d)：(mm一4}后，一p：+露)(6)(几，o，cf)