平行四边形辅助线解析

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1、与证SAABE^SACEF相比，计算量是一样的，这个方向可以先暂停了】【从ZABF的顺时针方向找关系，SAABF=S^ABCD-SAADF-SACDF或SAABF=S梯形ABFD-SAADF,^ABCD与梯形ABFD相比更规则，这里选择-ABCD；SACEF=SACDE-SACDF][S°ABCD-SAADF-与SACDE两个式子都包含；故这个方向大概率可行】【要证S^ABCD

2、SAADF

3、SACDF=SACDlfsACDF,左边两个运算，右边一个运算，从右往左变形好下手】底边计算，且高相等；CWWilllL对比，S^ABCDSAC

4、DE都可以以CD为tin例1.如图1,E是平行四边形ABCD屮AB延长线上一点，ED交BC于F,求证：SaABF=SaCEF.证明：[ABF与CEF仅有一个相同字母F,所以AABF与ACEF

5、不同底；E点可为AB延长线上任意一点，F由E确定，空梓置不定，从而BF二CF不一定成立，即△八BF与ACEF爪等底；既不同底也不等底，故K能由公式洌直接证两三角形面积相等】【考虑到■与有公共顶点],故可考虑用大的规则图形面积减去它们所夹图形面积表示这两个三角形的面积】【按顺序考虑，由于、BEF相对于梯形AFCD更简单,先从AABF的逆时针方向考虑

6、证SAABF+SABEF^SACEF+SABEF,即SAAEF=SABCE,AAEF与ABCE依然既k同底也不等底，D连接BD,过点B作BM垂直CD于M,过点E作EN丄CD于N・・・四边形ABCD为平行四边形・・・BM二EN【这里BM是口ABCD的CD边上的髙,也是△BCD的CD边上的高;EN是ZCDE的CD边上的高】VSACDB=iCD・BM,SZxCDE二・ENASACDB=SACDE22【证面积相等，底和高表示出来就好，没那么难开口】・•・SACEF=SACDE-SACDF=SACDB-SACDF=SADBE【这个等量代换后，

7、问题转化成证SAABF-SADBF]过点A作AG丄BC于G,过点D作DH丄BC于H・・・四边形ABCD为平行四边形AAG^DHVSAABF=

8、BF・AG,SADBF=

9、BF・DHASAABF-SADBFASAABF=SACEF例2.如图，平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于0,AC=a+b,BD=a+c(b>c),AB二in,求m的取值范围.解：•・•平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于0AA0=iAC=—,B0」BD旦兰2222・・・b>c・・・A0-B0=」F>0【A0与B0都是代数式,作差比较大小】在AABO中AO-

10、BO

11、.DH^(2Z)•少％2一次b〃□例4如图，平行四边形ABCD的周长为40,ZABC=60°,E、F是BD上的三等分点，AE的延长线交BC于M,MF的延长线交AD于N,设BC=x,关系.解：【看起来无从下手，可以在草稿上把条件列•遍：①2(AB+BC)二40②ZABC二60°③BE二EF二FD⑤S^amn=y；⑥用x表示y]【⑤⑥结合⑦用x表示y二Smmn】【观察可知，④可代入①】・・•平行四边形ABCD的周长为40：.2(AB+BC)=40VBC=x/.AB=20-x,AD=BC=x【条件剩下：②-③BE二EF二FD⑦用x表示y=5

12、AAMN】【从需求出发，要求y=S“mn，则要求一边长及高，显然选AN为底，可先求AN的高】【高必有90°,与②ZABC=60°结合为特殊三角形】过点A作AG丄BC于点G,VZABC=60°.ZBAG=30°ABG^AB^IO--,AG=a/AB2-BG2=10^3-—%222过点M作MH丄AD于HV四边形ABCD为平行以边形AAD//BC.*.HM=AG=10V3-—x2cBGM2,即yjM416•••5aamn4AN•HM4XTX(10V5-普)二乎x-等尤连接APDFA(H)例5如图，平行川边形ABCD4N是AB屮点，BE^B

13、C,NE与BD交于F,求字的值.4BDA解:连接NO/X——•・•四边形ABCD是平行四边形，0是对角线交点・・・0是AC中点J/又J51是AB屮点・•・NO//BC,NO弓BC•・・BE二BC・・・BE=iO42【右