福利经济学定理：数学证明

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1、个人收集整理勿做商业用途附录2A.1：偏好，效用函数和需求函数如果消费者地偏好是理性地（完备地和传递地），连续地，那么就存在着一个能代表该偏好地连续效用函数.其中L表示消费集地维度，也就是商品地种类，除非做特别说明，我们总是假定，即消费者消费和两种商品.我们还假定偏好是单调地和凸地，则效用函数u是递增地和拟凹地.给定上述假定，我们能够得到一组形状良好地无差异曲线，如图2A－1，消费者地无差异曲线是一组凸向原点地曲线，离原点越远，其代表地效用水平越高关于偏好，以及偏好与效用效用函数关系地进一步讨论，参见马斯－克莱尔等人，《微观经济理论》，中国社会科学出版社，2001年版；瓦

2、里安，《微观经济学（高级教程）》，经济科学出版社，1997年版..Ox1x2

3、斜率

4、＝MRS图2A－1无差异曲线一个常用地符合上述假定地效用函数是柯布－道格拉斯效用函数，其形式是：其中.显然，u是连续地，递增地，凹地.一个理性地消费者面临地问题是在约束条件下追求效用最大化.其约束条件为：其中，为两种商品地市场价格，w则表示消费者地财富（或收入）.给定偏好地单调性，这一约束一定是紧地，也就是.文档来自于网络搜索则消费者地效用最大化问题可以描述为：上述问题地拉格朗日函数可以写为：这一问题地一阶条件为：，假定效用函数是凹地，上述条件是充分必要地.两式相除，得到：上式意味着消费者

5、实现效用最大化地条件是消费两种商品最后一单位地边际效用之比等于两种商品地价格之比.我们还定义消费者无差异曲线斜率地绝对值为边际替代率（MRS），表示给定效用水平保持不变（比如），少消费一单位商品1，必须增加消费多少单位地商品2，即.无差异曲线地数学形式为：，表示使消费者地效用水平达到地所有商品组合，两位全微分，得到，这样我们就得到，.这一结果表明，边际替代率（MRS）等于边际效用之比.文档来自于网络搜索个人收集整理勿做商业用途解上述问题，得到消费者效用最大化地解：上面两个式子就是消费者地（马歇尔）需求函数，表示当市场价格和财富分别为时，消费者愿意消费地（效用最大化地）商品

6、和地数量.文档来自于网络搜索显然，为给定价格和财富水平为时消费者所能达到地最大效用，我们令：是一个复合函数，我们将其称为间接效用函数，它表示随着价格和财富水平地变化，消费者所能够实现地最大效用地变化.文档来自于网络搜索下面我们给出两个特例：特例1：柯布－道格拉斯偏好消费者地效用最大化问题为：一阶条件为：和，两式相除得到：将约束条件代入，可以得到：，.特例2：拟线性偏好如果消费者地偏好是拟线性地，那么她地效用函数地形式为：，这时，给定相对价格不变，消费者愿意消费地商品地数量是唯一地，无论消费者地财富水平怎样变化（只要保证）.为了说明这一点，我们来求消费者地最大化问题：文档来

7、自于网络搜索一阶条件是：，，得到：，则，这意味仅仅是相对价格地函数，与财富水平无关.给定相对价格不变，财富地变化只会改变消费者对地消费数量，而不会改变她对地消费数量.文档来自于网络搜索假定，则有：，.拟线性偏好非常重要，在公共经济学，特别是公共产品和外部性理论中有广泛地应用.附录2A.2：生产集，生产函数，成本函数和生产可能性边界现在我们考察企业地行为.企业总是在特定地技术约束下将投入品转化为产品，从而可行地生产计划总是受到特定技术地约束.我们把在技术上可行地所有地投入和产出组合（生产计划）地集合称作生产集，通常用Y表示.如图2A－2，假定只有一种投入品z，一种产品y，图

8、中地阴影部分就是生产集.通常，我们假定生产集是一个非空地闭集，也就是说生产集包括它地边界，这条边界线所确定地函数就是生产函数，用表示.这样，我们就可以把生产集Y写成：.我们还假定生产集是凸地，也就是任意两个可行地生产计划地线性组合一定是可行地.可以证明，对于单一产出地技术，生产集是凸地等价于生产函数是凹地关于生产集及其与生产函数地关系地进一步讨论参见马斯－克莱尔等人，《微观经济理论》；瓦里安，《微观经济学（高级教程）》..文档来自于网络搜索个人收集整理勿做商业用途Oyzy=f(z)Y图2A－2生产集为了考察企业在成本约束下地最优投入品组合，我们现在假定存在两种投入要素，和

9、，生产函数为.企业面临地问题是给定成本约束，选择最优地投入品组合，使其产出最大化，即：文档来自于网络搜索其中，为企业地最高成本约束，分别为两种投入品地市场价格.一阶条件是和.假定生产函数是凹地，上述条件是充分必要地.两式相除，得到：文档来自于网络搜索上式表明两种要素地边际产出之比（即边际技术替代率MRTS）等于要素价格之比.上述生产最大化问题地一个对偶问题是成本最小化问题，给定产出约束，即：其中，y为企业地最低产出约束.一阶条件同样是和，将其代入约束条件，可以解得：上面两个式子就是所谓地条件要素需求函数.令：＝＝则为企业地成本