纸草书上的数列问题

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1、2010年第1期数学教学1—29纸草书上的数列问题200062华东师范大学数学系汪晓勤说起古埃及的数学，我们马上会想到古埃及得乘积7663人所用的单位分数．古埃及人在度量谷物的容量时，使用了一些特殊的单位分数一霍鲁斯(Ho-rus)分数．在埃及神话rI1，天神霍鲁斯是奥西里斯(Osiris，丰饶之神、冥府之王)和伊西丝(Isis，丰产女神、生育保护神)fl~JL子，奥西里斯被他的弟弟塞特(Seth，战争与沙漠之神)谋害，霍鲁斯长大后为父报仇雪恨，与塞特激战，最终获胜，夺回王位．搏斗过程中，塞特挖走了霍鲁斯的一图

2、3只眼球，并将其撕碎，弃于各处．后智慧之神托在1889年发掘于古埃及中王国时期遗址拉特(Toth)找回这些碎片，将其复原．图1为“霍鲁罕(E1一Lahun)的纸草书(约公元前1800年，称斯眼睛”；图2为“古埃及护身符一霍鲁斯眼睛为“加罕纸草书”)上，有这样一个等差数列问题(卢浮宫藏)”．(图4)：将100分成10份，第一份最大，从第二份开始，每一份较前一份少鲁+i1，求各份的大小．注意，古代埃及人是采用单位分数来表示其他分■数的(只有鲁除外)．问题相当于已知等差数列的项数n=10和=100，公差d=一昙，求各

3、项．祭图1霍鲁斯眼睛图2古埃及护身符基于上述神话故事，古埃及人用霍鲁斯眼睛司给出的各份从大到小依次为：13+孝+西1，的各个部分来表示不同分数，这些分数构成了等12+2十石1十112+1比数列：11111，丽1，，1l+丢十1，，，，，，见下表．传说托10+1十1特发现霍鲁斯分数之和等于器，他利用魔法得，9十十石1+老，8+2十1，7+2十1十西17+，6+石1十西1到了击，从而将和补成1．⋯，．1∞lOo／==『l33’l212*3’6l2l1ll11———一I2‘l2248163264llI6’i2在古埃及

4、数学里，等比数列1，2，4，8，⋯是】O’3129‘3’6‘l2最常用的数列．由于任何一个正整数均可表示83’l27’3‘6l2成该数列中某些项的和，因此，一个乘法算式往7’l2往离不开这个数列．举个例子说，要求79×97，6l6‘l2列算式如图3，由于1、2、4、8和64相加得被乘图4加罕纸草书残片上的等差数列问题数79，故相应的97、194、388、766、6208相加埃及数学家Legon根据图4左列算式，给出i一3O数学教学2010年第1期如下的解法：将詈的一半乘以9，所得乘积加上10份的平均数10，即得

5、最大的一份，依次减去5，即得其余各份的大小．这就是：6壤11I‘／内婴憨磐”一n)×(一⋯⋯⋯(1)如果上述解释成立，那么，古代埃及人已经总结出等差数列求和公式在莱因得纸草上，最著名的莫过于问题79=+n(n一1)d(<0)．⋯⋯(2)(图5)，我们见到这样一张财产表：莱因德纸草书(约公元前1650)问题64的解法印证了Legon的解释．该问题大意是：“10人分10斗麦于，从弟一人升始，．昝人所得1次比丽一人少吉斗．问各得多少?))I3】问题相当于已知等差数列的项数n=10和=10，公差(f=一1这是一个等比数

6、列7，7，7。，7的求和问题，其，中左边两栏就是2801X7的具体算式．由此可求各项·祭司给出的答案依次为：1+1+土16，知，古代埃及人已经总结出了等比数列l十11+1+1十丽11+I17，72，73，⋯，7n，⋯十，，十，的前n项和的递推关系=(1+一1)X1+，丢+1十百1十而1，+1十i，7．用这种方法同样可以导出一般等比数列前n+百1十而1，去+丽i，+1+去．项和的递推公式：Sn=a+aq+aq+···+aq一=a+qS~一1．注意到一1=一0，易得我们熟悉的公“取10人所得的平均值，即1．从10中

7、减去1，式：：l二盟(q≠1)得9；取差数的一半，得，乘以9，得壶+丽1·．虽然我们还无法判断古埃及祭司是否已经加平均值1，即为最多的一份．依次从各份中减知道上述公式，但他们所运用的思想却昭然若去差数去，直到最后一份．”揭，这种递推思想在今天的课堂上仍可大放光显然，祭司给出的解法就是公式(1)的运用．毋彩，它让“等比数列求和过程中，为什么两边要乘庸置疑，祭司对于求和公式(2)确是了然于心的．以q’’之类的问题显得多么狭隘!莱因得纸草问题40是另一个等差数列问题：此外，莱因德纸草书上的兰(P=2n+1，1≤“五人

8、按等差数列分i00片面包，最少的两份之n≤50)单位分数分解表也为我们留下了广阔的和是另外3份的七分之一．问：五人各得多少?”思维空问．一些分数的分解式，如问题相当于已知等差数列的项数礼和，以21．1．1及al+a2=圭(a3十a4+n5)，求各项．解答的9560‘380。570’符合公式1+(p、q2开头部分已经损坏，但从后面的文字可见，祭司pqp十qJq(P+qJ‘采用了假设法．设