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1、第21讲共轭算子与一、五线性泛函教学目的：掌握Hilbert空间上几类常用算子的性质。讲解要点：1Hilbert空间上线性泛函与线性算子的表现定理。2自伴算子的基本性质。3酉算子与正常算子的概念与属性。定理1(Riesz表现定理)设H是Hilbert空间.(1)∀yH∈,f(x)=(x,y)是H上的连续线性泛函并且f=y.(4-3-1)(2)若f是H上的连续线性泛函,则存在唯一的y∈H使得f(x)=(x,y),∀x∈H(4-3-2)a证明1设x,x∈H,α,β∈Φ,则12f(αx+βx)=(αx+
2、βx,y)1212=α(x,y)+β(x,y)=αf(x)+βf(x).1212f是线性的.又由不等式f(x)=(x,y)≤xy,f≤y,f连续.若y=0,显然f=0=y.若y≠0,取x=y,则f()y=(y,y)2y=y,故f≥f()=y.总之,f=y.ya2若f=0,取y=0即可.若f≠0,设E=N(f),E是H⊥⊥⊥的闭极大真子空间,设H=E⊕E,E≠{0}.取z∈E,z=1,1⊥f(x)则f(z)≠0,令y=f(z)z,y∈E.由于∀x∈H,x−z∈E,于f(z)是f(x)0=(x−z,y
3、)f(z)f()x=(x,y)−(z,f(z)z)f()z=(x,y)−f(x)(z,z)=(x,y)−f(x)a即f(x)=(x,y),∀x∈H,由1还知道f=y.若另有yH'∈使得f(x)=(,')xy,∀x∈H,则(x,y)=(,')xy,∀x∈H,即(,xyy−=')0,此时必有yy='.称定理1中的y为线性泛函f的表现.*记H上的连续线性泛函全体为H,定理1表明从集合论的观点*来看,H与H是相同的.*定理2设H是Hilbert空间,H是H的共轭空间.*(1)若映射T:H→H,Tf=y,其
4、中y是f的表现.则*T(αf+βf)=αT(f)+βT(f),∀f,f∈H,(4-3-2)121212*T是到上的并且∀∈fH,Tf=f.*(2)(Tf,Tg)=(,)fg,∀f,g∈H.(4-3-3)1**(3)若J是从H到H的自然嵌入算子,J是到上的线性映射并且Jx=x,∀x∈H.通常称满足(4-3-2)的T是共轭线性的.a证明1设Tf=y,Tf=y,α,β∈Φ,则∀x∈H,11222f(x)=(x,y),f(x)=(x,y).于是1122(αf+βf)(x)=αf(x)+βf(x)1212=
5、α(x,y)+β(x,y)=(x,αy+βy).1212即T(αf+βf)=αy+βy=αT(f)+βT(f).由定理1知道T是到上121212*的并且Tf=y=f,∀∈fH.a2由T(f+g)=f+g,T(f−g)=f−g,则122Re(Tf,Tg)=[T(f+g)−T(f−g)]4122=[f+g−f−g]=Re(f,g).4将f换为if,则Re(Tif,Tg)=Re(if,g).又由T的共轭线性(Tf,Tg)=i(Tif,Tg).所以Im(Tf,Tg)=Re(Tif,Tg)=Re(if,g)
6、=−Im(f,g).从而*(Tf,Tg)=(f,g),∀f,g∈H.a**3设J是从H到H的自然嵌入算子,则∀x∈H,*Jx(y)=y(x),∀y∈H.若x,x∈H,α,β∈Φ,则12J(αx+βx)(y)=y(αx+βx)1212=αy(x)+βy(x)=αJx(y)+βJx(y)1212=(αJx+βJx)(y)12y是任意的.故J(αx+βx)＝αJx+βJx。1212∗∗∗∗∗∗∗∗∗∀∈xH，由定理1，存在y∈H，使得x(f)=(f,y),3*∗∗∗a∗a∀f∈H并且x=y。若T是1中的
7、映射，不妨设Ty=x，由2，∗∗∗∗x(f)=(f,y)＝(Ty,Tf)=f(x).∗∗故Jx=x。J是到上的并且∗∗∗∗Jx=x＝y＝Ty＝x.定理得证.∗这里注意T:H→H是共轭线性的但不是线性的.因此按照线∗∗性同构的观点来看，当Φ是复空间时，H≠H.尽管H与H之间存在一一的到上的映射.另一方面，定理2（3）与我们关于一致凸空间的结论是一致的，即Hilbert空间是自反空间，从而Hilbert空间的闭单位球是ω紧的等等.定义1设H是Hilbert空间,，ϕ:H×H→Φ是一映射.(1)称ϕ是一
8、、五线性的，若∀x,y,z∈H，α,β∈Φ，ϕ(αx+βy,z)＝αϕ(x,z)＋βϕ(y,z)ϕ(x,αy+βz)＝αϕ(x,y)＋βϕ(x,z).（4-3-5）(2)称ϕ是对称（或Hermite）的，若ϕ(x,y)＝ϕ(y,x).(3)称ϕ是有界的，若存在C>0，
9、ϕ(x,y)
10、≤Cx⋅y，∀x,y∈H.此时记其范数为ϕϕ=≤sup{
11、(,)
12、:xyx1,y≤1}.（4-3-5）下面定理可以看成有界一、五线性泛函的表现定理.定理3设H是Hilbert空间,则ϕ:H×H→Φ是有界
