泛函分析第3章 连续线性算子与连续线性泛函.doc

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1、第3章连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。3.1连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个维向量空间映射到另一个维向量空间的运算，就是借助于行列的矩阵对中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。

2、把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。[定义3.1]由赋范线性空间中的某子集到赋范线性空间中的映射称为算子，称为算子的定义域，记为，为称像集为算子的值域，记作或。若算子满足：（1）（2）称为线性算子。对线性算子，我们自然要求是的子空间。特别地，如果是由到实数（复数）域的映射时，那么称算子为泛函。例3.1设是赋范线性空间，是一给定的数，映射是上的线性算子，称

3、为相似算子；当时，称为单位算子或者恒等算子，记作。例3.2，定义由积分的线性知，是到空间中的线性算子。若令则是上的线性泛函。[定义3.2]设是两个赋范线性空间，是线性算子，称在点连续的，是指若，则；若在上每一点都连续，则称在上连续；称是有界的，是指将中的有界集映成中有界集。[定理3.1]设是赋范线性空间，是的子空间到中的线性算子，若在某一点连续，则在上连续。证明：对，设，且，于是，由假设在点连续，所以当时，有因此，，即在点连续。由的任意性可知，在上连续。定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算

4、子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子连续等价于若（中零元），则（中零元）。例3.3若是维赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则在上连续。证明：在中取一组基，设且，即，则从而。于是因此，，即在处连续，进而在上每点连续。[定理3.2]设是赋范线性空间，是的子空间到中的线性映射，则有界的充分必要条件是：存在常数，使不等式成立，即证明：必要性。因有界，所以将中的闭单位球映成中的有界集，即像集是中的有界集。记，此时，对每个，由的定义有……………………（3.1）即，而当时，不等式（3.1）变成等式。故有充分性。设是的任一有界集，则

5、存在常数使。由知故有界。证毕。[定理3.3]设是两个赋范线性空间，是从的子空间到中的线性映射，则是连续的充要条件是是有界的。证明：充分性。设有界，则存在常数，使对一切，从而对有即。所以，是连续的。必要性。若连续但是无界的，那么对每个，必存在，使，令，那么，即，由的连续性，，但是另一方面，，引出矛盾，故有界。定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用表示到的有界线性算子组成的集合。例3.1，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。例3.4考察定义在区间上的连续可微函数全体，记作，其中

6、范数定义为，不难证明，微分算子是把映入中的线性算子。取函数列，显然，，但因此，微分算子是无界的。[定义3.3]设是赋范线性空间，是从到的有界线性算子，对一切，满足的正数的下确界，称为算子的范数，记作。由定义可知，对一切，都有。[定理3.4]设是赋范线性空间，是从到的有界线性算子，则有证明：由，易得……………………………………（3.2）根据的定义，对于任给的，存在非零，使令，则有，因此令得……………………（3.3）由式（3.2）和式（3.3），便得而，由定义易知。例3.5在上定义算子如下（1）把视为到的算子，求；（2）把视为到的算子

7、，求。解：算子的线性是显然的，下面分别求。（1）设：，任取，由于，从而故是有界的，并且。另一方面，取，并且于是故。（2）设：，任取，由于，从而因此，是有界的，并且；另一方面，对任何使得的自然数，作函数显然,且，而所以，又有因此，。此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，他们的算子范数未必相同。一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。例3.6设在上连续，定义算子：为则，且证明：由于故结论成立。事实上，还可以进一步证明由于证明要用到实分析知识，这里从略。例3.7已知实

8、矩阵，定义为，则，且。证明：故对于赋范线性空间上的线性泛函，我们总视为到数域所成赋范线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不再重述。对于赋范线性空间上的线性泛函，由于，所以，因而的范数就是。对于线性泛函，还有下面的连续