矩阵广义逆在动态解耦模糊控制系统中的应用研究

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1、矩阵广义逆在动态解耦模糊控制系统中的应用研究万新(控制科学与工程学院控制科学与工程2012210182)摘要：利用矩阵的广义逆进行研究，得到一个含有最少任意参数的新结论。实现了对多变量系统的解耦模糊控制，获得了良好的控制效果。所采用的模糊控制规则简单方便，适于寻优与计算机实现。关键词：非线性动态逆；解耦控制；模糊控制器；矩阵广义逆；复矩阵Abstract:Thispaperpresentsanewconclusionwiththefewestparametersbyvirtueofgeneralizedinversematrixandrealizeddecoupling

2、fuzzycontroloverthesystemwithmultiplevariables,whichdemonstratesgoodcontrolperformance.Thefuzzycontrolruleadoptedinthispaperiseasytouseandalsosuitableforoptimizationandtherealizationofcomputer.Keywords:nonlineardynamicinverse;decouplingcontrol;fuzzycontroller;generalizedinversematrix;com

3、plexmatrix在非线性动态逆方法中，通过引入非线性输入来抵消系统中的非线性因素，并获得所期望的以解耦形式表达的线性动态模型。而模糊控制系统能够较好地处理数学模型不够准确的控制问题，且具有较强的抑制系统内部参数变化对系统输出产生影响的能力。如果将动态逆方法与模糊控制方法相结合，构成一种动态解耦模糊控制方案，则该方案可以发挥两种方法的优点。为方便且不失一般性，我们考虑线性多变量系统，但给出结论同样适用于非线性多变量系统。设系统的状态方程为(1)如果B阵可逆，便可以实现系统的解耦控制。但绝大多数情况下B阵是长方矩阵，这时只能通过将n维状态方程(1)整理成分块形式，然后用

4、动态逆方法对系统的部分状态进行解耦控制。笔者通过对矩阵的广义逆进行研究,可以对奇异方阵以及长方矩阵求出含有最任意参数的广义逆，从而实现对多变量系统(1)的解耦模糊控制。1定义与引理设Cn为复n维向量空间，Cm×n为复m×n阶矩阵的全体，，为A的值域，为A的零空间，以AH表示复矩阵A的共轭转置矩阵。定义1设，如果满足AXA=A，XAX=X，(AX)H=AX，(XA)H=XA则称X为A的Moore-Penrose广义逆，记为A+。称定义1中的4个方程为Moore-Penrose方程。由于这4个方程都各有一定的解释，并且在实际应用中也各有方便之处，所以于不同的目的，常要考虑满

5、足部分方程的X，称为弱逆。定义2设，用A{i，j，…，l}表示所有满足Moore-Penrose第i，j，…，l个方程的矩阵的集合。矩阵记作，称为A的{i，j，…，l}-逆。笔者将给出的集合A{1}的表征新结论，它含有最少的任意参数。在实现对系统的解耦模糊控制时能使控制效果更优。引理1设，，则线性方程组(2)相容的充分必要条件是对每一个A(1)都有AA(1)b=b，且这时(2)的通解为.其中为任意的。引理2设，则1)A(1)A=In，当且仅当r=n;2)AA(1)=Im，当且仅当r=m.引理3设，r>0，则存在列满秩阵和行满秩阵，使得A=FG.引理4如果A(1)∈A{1

6、}，则R(AA(1))=R(A)，N(A(1)A)=N(A)，R((A(1)A)H)=R(AH).2利用矩阵的广义逆实现对系统的解耦模糊控制定理1设为幂等矩阵(E2=E)，则1)EH与I-E为幂等的；2)E的特征值为0与1，特征值1的重数为rankE；3)rankE=traceE；4)E(I-E)=(I-E)E=O；5)Ex=x，当且仅当；6)N(E)=R(I-E)。证明1)，2)，4)，5)为幂等性定义的直接结论；3)可从2)以及任一方阵的迹等于其计入重数的特征值之和这一事实推出；6)可将引理1应用于方程而得。定理2设方阵E有满秩分解E=FG，则E为幂等矩阵的充分必要

7、条件是GF=I.证明如果GF=I，则显然有(FG)2=FGFG=FG(3)另一方面，由于F为列满秩阵，则其{1}-逆就是它的左逆。G为行满秩阵，则其{1}-逆就是它的右逆。由引理2便有F(1)F=GG(1)=I.如果(3)成立，左乘F(1)且右乘G(1)便得GF=I.定理3设，A(1)∈A{1}为任意固定元素。同时，设，，均为给定的矩阵，且其列分别为N(A)，N(AH)和R(A(1)A)的一组基，则Moore-Penrose方程AXA=A(4)的一般解为X=A(1)+FY+PZM.(5)其中,为任意。此即A{1}={A(1)+FY+PZM