高中数学题库高一部分-b函数-函数的性质

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1、定义在R上的函数同时满足条件：①对定义域内任意实数，都有；②时，.那么，（1）试举出满足上述条件的一个具体函数；（2）求的值；（3）比较和的大小并说明理由.答案：（1）；（2）令，，则，而，∴；（3）∵，∴，∴…4分来源：09年浙江杭州市月考二题型：解答题，难度：中档已知：f(x)是定义在R上的奇函数，对于常数a>b>0，f(x)在区间[－a，－b]上是减函数，且f(－b)〉0，试确定函数y=[f(x)]2在区间[b，a]上的单调性，并证明你的结论．答案：证明：任取x1、x2∈[b，a]，且x2〉x1，则－x1、－x2∈[

2、－a，－b]，且－x2〈－x1．∵f(x)在[－a，－b]上是减函数，∴f(－x2)〉f(－x1)．又f(x)是奇函数，∴f(－x2)=－f(x2)．f(－x1)=－f(x1)，即－f(x2)〉－f(x1)．∴f(x2)〈f(x1)．∵f(－b)〉0，且f(x)在[－a，－b]上是减函数，∴f(x)在[－a，－b]上为正值．由f(x)是奇函数，∴f(x)在[b，a]上为负值，∴f(x1)〈0，f(x2)〈0，而f(x2)〈f(x1)，∴｜f(x2)｜〉｜f(x1)｜，∴｜f(x2)｜2〉｜f(x1)｜2即f2(x2)〉f2

3、(x1)．∴y=f2(x)在[b，a]上是单调增函数．来源：1题型：证明题，难度：较难已知函数和的图象关于原点对称，且.(1)求函数的解析式；(2)解关于x的不等式；(3)若在（1，）时恒成立，求a的取值范围.答案：(1)设图象上任意一点为P（x，y），它关于原点的对称点为P′（–x，–y）易知P′（–x，–y）在函数的图象上∴，即：∴(2)由得，即：等价于①当a>0时，化为∴②当a<0时，化为∴∴当a>0时，不等式的解集为当a<0时，不等式的解集为(3)由，得：∴由已知得：上恒成立∴∴解之得：a<0或来源：09年西南师大

4、附中月考一题型：解答题，难度：中档已知函数（是自然数）是奇函数，有最大值，且.（1）试求函数的解析式；（2）是否存在直线与的图象只交于P、Q两点，并且使得P、Q两点的中点为（1，0）点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.答案：⑴由为奇函数易知：.又因为是自然数，所以，当时，；当时，.所以，的最大值必在时取得.当时，，等号当且仅当时取得.所以，.又，所以，.结合是自然数，可得：.所以，.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑵对于“是否存在型”的问题，一般探索的方法为：假设存在，导出矛盾，或者从部分结论

5、出发，导出其存在的必要条件，再验证是否充分.根据上述思路，我们可以假设存在满足条件的直线，则、Q的坐标可为P，.且这两点都在函数的图像上.即：消去，得，解得：.所以，或.所以，直线的方程为：.的存在性还须通过充分性的检验.把直线的方程与函数联立，不难求得，共有三组解：.因此，直线与的图象共有三个交点，与“只交于两点”矛盾.所以，满足条件的直线不存在.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在得到这样的解答之后，我们不妨回头再看一看，在上述过程中，函数的性质（如奇偶性）并没有得到充分的应用.若能充分运用这个已

6、知条件，则可以得到其他不同的探索过程.法2：设，则由为奇函数可知：P关于原点的对称点也在的图像上，又，所以，，且，故问题等价于：是否存在直线，使得与有两个距离为2的交点.将代入，解之得：，令，解得：，，所以，，此时直线的方程为充分性的检验过程同上.以上两种解法都是从求出直线的方程入手.如果我们将着眼点放在“只交于两点”，则可以得到下面简洁的解法.法3：当直线的斜率不存在时，，此时与函数的图像只交于一点，不满足题设，所以，可设直线的方程为：，与联立，消去得：（*）由P、Q关于点（1，0）对称，可得：点（1，0）在直线上，所以

7、，.对于上述方程（*），若，则方程只有一解，不符合题意.若，则方程（*）的实根个数可能为1个或3个.不可能有两个.即过点（1，0）的直线与的图象不可能只有两个交点，所以，这样的直线不存在.来源：09年浙江金华月考一题型：解答题，难度：较难定义在R上的偶函数满足：，时，（1）求时，的解析式；（2）求证：函数在区间上递减，上递增；（3）当时，函数的取值范围是，求实数的取值范围.答案：（1）时，；（2）任取且，∵而，，∴，即，∴在上递减；再任取且（略）（3）利用的图象，易知来源：09年浙江杭州市月考二题型：解答题，难度：中档根据

8、函数单调性的定义，判断在上的单调性并给出证明。答案：在上任取x1,x2,且,则∵,∴x1-x2<0，且.(1)当a>0时,,即，∴是上的减函数；(2)当a<0时,,即，∴是上的增函数；来源：09年湖北襄樊月考一题型：解答题，难度：中档对于函数（Ⅰ）探索函数的单调性；（Ⅱ）是否存在使函数为奇函数？答案：（