超越2017强化讲义线代练习题答案.doc.doc

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1、超越考研强化班讲义线性代数部分同步练习解答第一章P175练习（1）（1997，IV）设阶矩阵，则（答案：）【分析】特点：各行元素之和相同，均为，可将各列加至第一列提取公因子；【解】.（2）（1999，II）的根的个数是_______.（答案：2）【分析】关键是要知道是关于的几次多项式；【解】（3）（2012，I，II，III），求.(答案：)【分析】特点：各行均只有两个元素不为零，可以考虑直接展开；【解】按照第一列展开：.（4）已知，求．（答案：）【分析】此种行列式在求特征值解时常用；关键是要通过行或者列的变化从某行或者某列提取的一次公因子，使该行或者该列只剩

2、常数不含，达到边分解边展开的目的；【解】.第二章P181练习（1）（答案：）【解】.（2），则（答案：）【解】（3）已知其中则（答案：.提示）【解】.P183练习：（2006，I）设矩阵为2阶单位矩阵，且，则（答案：2）【解】，，所以P184练习（1999，IV）已知，则（答案：）【解】可逆，所以.P187练习：（1997，III）设为阶非奇异矩阵，为维列向量，为常数，记分块矩阵其中为的伴随矩阵，为阶单位矩阵.（I）计算并化简；（答案：）（II）证明可逆的充要条件是.（提示：计算且）【解】（I）；【注】（II）注意到直接求是困难的，但是由（I）因所以，可逆.P

3、192练习：（2012，I，II，III）设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且，若，则（）答案：（B）．（A）（B）（C）（D）【解】，所以，.P194练习（1）（2001，III）.（答案：）【解】或者，但是时，，故.（2）（答案：）【解】.(3)设为阶方阵，且满足，证明：.【证明】(3)P196练习(2008,I,II，III)设为阶方阵，且，则（）.(答案:C)（A）不可逆，且不可逆（B）可逆，但不可逆（C）及均可逆（D）不可逆，且必有【解】不可逆，排除（B）；均可逆；均可逆，排除（A）；取，排除（D）；正确答案为（C）.第三章P204练习：设为阶方阵，为维非零

4、列向量，证明：若，则（提示：反证法设若则个维向量线性无关）【证明】设若，则个维向量则线性无关，事实上，设，上式两边左乘知，从而一定有，再左乘知，依此类推可知，从而线性无关，这与个维向量一定线性相关矛盾！所以若，则【注】由此可知，若为阶方阵，则齐次线性方程组与同解，从而.P206练习设3×2矩阵，其中是3维列向量，若线性无关，则线性无关的充要条件是（）．（答案：（C））（A）能由线性表示　　（B）能由线性表示（C）矩阵与等价　　　　　　（D）向量组与等价【解】（A）能由线性表示，得到线性无关；但若线性无关，线性无关能由线性表示，例如与均无关，但是不能由线性表示；

5、（B）能由线性表示线性无关，例如取，反之若线性无关，线性无关也能由线性表示，例如与；（C）矩阵与等价同型且线性无关，线性无关，选（C）；由（A）,(B)的分析知（D不正确.第四章P210练习设是的基础解系，则该方程的基础解系还可以表示成（）.的一个等价向量组的一个等秩向量组（答案C）【解】要证明是基础解系需证明三点：(ⅰ)是的解；(ⅱ)线性无关；(ⅲ)或者任何一个解均可以由线性表示；基础解系不唯一，本题中的任意三个线性无关的解均可以作为基础解系.的一个等价向量组未必为三个向量；的一个等秩向量组未必是的解，也未必是三个向量；显然满足上述三条，可以作为基础解系；是

6、线性相关的向量组，不能作为基础解系.P213练习（1）设阶方阵的各行元素之和均为零，且，求的通解．（提示：答案：．）【解】由题意，的基础解系中含1个向量，且，从而可以取作为基础解系。（2）设为阶方阵的列向量组的极大无关组，为的伴随矩阵，则线性方程组的通解为　　　　　　　　　　　　　．（提示：，且，答案：通解任意，）【解】由题意，的基础解系含有个向量，由，取出中的任意列线性无关的向量即可作为的基础解系，故通解为任意.P214练习（2000，III）设，，，．试问当、、满足什么条件时，（1）可由线性表示，且表示唯一；（答案：）（2）不能由线性表示；（答案：）（3）

7、可由线性表示，但表示不唯一并求出一般表达式．（答案：任意）【解】设，注意到为方阵，且，（1）时有唯一解，从而表示唯一；时，（2）时，，不能由线性表示；（3）时，，可由线性表示，令，得任意.P215练习（2013，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）设，，问当为何值时，存在矩阵，使得，并求所有矩阵．【解】【解法一】设，则，，则，得到方程组，要存在矩阵，则，从而，得方程组令，则所以，其中为任意常数．【解法二】：设，则，，，观察可知，所以，，并且进一步可知令，则所以，其中为任意常数．P218练习：（1）设方程组（I）和（II）满足（I）的解都是（II）的解，但（II）的解并不完全是（I）的

8、解，求常数求，，的值（提示：，可得或者