结构力学二5-超静定结构的内力与位移计算

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1、§5—1概述1.静定结构与超静定结构静定结构：全部反力和内力只用平衡条件便可确定的结构。HAAPBVARB超静定结构：仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。PABCHAVARBRCP外力超静定问题内力超静定问题2.超静定结构在几何组成上的特征几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。ABPCX1↙X2↙↗↗X1P此超静定结构有一个多余联此超静定结构有二个多余联系，即有一个多余未知力。系，即有二个多余未知力。多余联系：这些联系仅就保持结构的几何不变性来说，是不必要的。多余未知力：多余联系中

2、产生的力称为多余未知力（也称赘余力）。多余联系与多余未知力的选择。3.超静定结构的类型（1）超静定梁;（2）超静定桁架；⑶（3）超静定拱；（4）超静定刚架；（5）超静定组合结构。4.超静定结构的解法⑷求解超静定结构，必须综合考虑三个方面的条件:（1）平衡条件；（2）几何条件；⑸（3）物理条件。具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移法。§5—1概述力法用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系或多余未知力的数目。1.超静定次数：多余联系或多余未知力的个数。2.确定超静定次数的方法:采用解除多余

3、联系的方法.解除多余联系的方式通常有以下几种：→X1↑（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。X1←→X1→↑（2）拆开一个单铰，相当于去掉X2两个联系。53.在刚结点处作一切口，或去掉一个固定端，相当X2X2X1←↑→X1于去掉三个联系。→X34.将刚结点改为单铰联结，相当于去掉一个联系。应用上述解除多余联系(约束)的方法，不难确XX11定任何超静定结构的超静定次数。在超静定结构上去除多余约束，常有以下几种基本方式：（1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于去除一个约束。（2）撤去两杆间的一个单

4、铰或撤去一个铰支座，等于去除两个约束。（3）撤去一个固定端或切断一根梁式杆，等于去除三个约束。由此得出一般性结论：每一个封闭框格为超静定3次。(4)在梁式杆的某一截面插入一个单铰，等于去除一个约束。将复铰结点A拆开，在刚结点B处插入一个单铰并切断一个链杆，复铰A相当于两个单铰的作用，共去除六个约束，即n=6。例：(b)(a)框格数c=2单铰数h=2框格数c=4单铰数h=6n=3×2-2=4n=3×4-6=6例：n=2XX21X1XX34n=4X2n=3X2X1X3n=3×6-10=8XX13X2X4

5、思考：是否可将支座A处的水平链杆作为多余约束？X1??解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。力法整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。力法的典型方程用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。1.三次

6、超静定问题的力法方程→P→P首先选取基本结构（见图b）基本结构的位移条件为：△=0原结构基本结构1△=02XAXBAB12△3=0→设当和荷载P（a）X↑3（b）分别作用在结构上时，沿X1方向：11、12、13和△1P；A点的位移沿X2方向：21、22、23和△2P；沿X3方向：31、32、33和△3P。据叠加原理，上述位移条件可写成△1=11X1+12X2+13X3+△1P=0△=X+X+X+△=022112222332P△=X+X+X+△=0331132233

7、33P11X1+12X2+13X3+△1P=021X1+22X2+23X3+△2P=031X1+32X2+33X3+△3P=02.n次超静定问题的力法典型(正则)方程对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有n个位移条件，可写出n个方程11X1+12X2+…+1iXi+…+1nXn+△1P=0i1X1+i2X2+…+iiXi+…+inXn+△iP=0……………………………………………………………n1X1+n2X2+…+niXi+…+nnXn+△nP=0这

8、便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中Xi为多余未知力，ii为主系数，ij(i≠j)为副系数,△iP为常数项（又称自由项）。3.力法方程及系数的物理意义（1）力法方程的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移，应与原结构相应的位移相等。（2）系数及其物理意义：下标相同的系数称为主系数(ii主位移)，它是单位多余未知力单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移，其值恒为正。系数(i≠j)称为副系数(副位移)，它是