矩阵的约当标准形

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1、矩阵的约当标准形我们已知：并非每一个矩阵都可以相似于对角形矩阵。当矩阵不能和对角形矩阵相似时，能否找到一个构造比较简单的分块矩阵和它相似呢？当我们在复数域C内考虑这个问题时，这样的矩阵确实存在的，这就是约当（Jordan）形矩阵，它称为矩阵A的约当标准形。在矩阵分析及其应用中，矩阵的约当标准形都是重要的工具，我们在这里只作扼要的介绍。设，是A的特征矩阵，暂用来记它。定义1中所有非零的k级子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式称为的一个k级行列式因子，由定义可知：。又因为能整除每一个k－1级子式，从而可整除每个k级子式（将k级子式按一行或一列展开即知），因此能整除，并记为，（）。定义2下

2、列的n个多项式，，，…,，…,称为的不变因式。把每个次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必需按出现次数计算），称为的初级因子。由于这里的完全由A决定，所以这里的不变因式及初级因子也称为矩阵A的不变因式及初级因子。例1求矩阵的不变因式及初级因子。解因为A的特征矩阵为所以的行列式因子为：，；不变因式为因次数大于1的不变因式只有，故由定义可见A的全部初级因子为：例2设求A的初级因子。解因为所以。又因它有一个n-1级子式，故，从而。于是，不变因式为：，因此初级因子只有一个：。例3求下列矩阵的初级因子：解1）因故。又易得，从而，于是不变因式为：1，

3、1，而初级因子为：2）写出的式子，可见又中有一个三阶子式为，但另一个三阶子式为这两个三阶子式互素（不记常数因子），故知，从而,因此不变因式为：1，1，1，=所以A的初级因子为：。有了上述概念现在考虑A的标准形问题。设矩阵的全部初级因子为：。在这里，可能有相同的，指数也可能相同的。对每一个初级因子构作一个阶矩阵（约当块）：（）由所有这些约当块构成的分块对角矩阵称为矩阵A的约当形矩阵，或A的约当标准形。现在我们叙述关于约当矩阵的基本定理。定理1每个n阶复数矩阵A都与A的约当形矩阵J相似：；除去约当块的排列次序外，约当形矩阵J是被矩阵A唯一决定的。因为对角形矩阵摄约当形矩阵的特殊情形，即它是由n

4、个一阶约当块构成的约当形矩阵。因此我们有：推论复数矩阵A与对角形矩阵相似的充要条件是A的初级因子全为一次式。注：由于所以当约当形矩阵J的主对角线上的元素全为A的特征值，并且，但由于时可能有，故不一定是A的重特征根，故一般由矩阵的特征多项式是不能写出矩阵的约当形矩阵的。回头看前述三例所给矩阵的约当标准形。例１的矩阵A的约当标准形是例２的约当标准形是例３的两个约当标准形分别是１）；２）。例　利用约当矩阵证明：若ｎ阶矩阵Ａ的特征值为，则矩阵Ａｍ的特征值为。证明设A的约当形矩阵为其中因J=P-1AP，故有。但是，显然Jm的特征值就是J的特征值的m次幂，而相似矩阵有相同的特征值，故Am的特征值就是J

5、m的特征值，即A(或J)的特征值的m次幂。