一次同余方程周期律九解

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1、一次同余方程周期律九解孙梁（贵州省凯里市教育局556000)摘要：探讨和研究余数方程周期表众多的递变规律和解题方法，这些解法几乎囊括了现今初等数论中由辗转相除法派生出来的各类解法，其中就包括驰名中外的“大衍求一术”和“欧几里德算法”。并且简化和改进了这些古老的传统方法，结束了一次同余方程不可能用公式一次计算的历史。探索余数周期律神秘的未知世界，将会激发你的数学兴趣，开阔你的视野，增强你的思维。你获取一次同余方程和一次不定方程的结果，就象囊中取取物，瓮中捉鳖一样方便和简单。【关键词】：探究余数方程周期律九解简捷性、科学性。【引言】一次同余方程是一个描述周期现象的数学模型。当方程aXn≡Cn

2、（modm）（a为整数，m为正整数）中a、m整数值确定之后，就独立的对应着一个余数周期表。Cn的整数值随着Xn的整数值变化而变化。余数周期表堪称为世界上表数最多的数学用表。任一余数周期表中的一任一余数，在表中同时具有自变、周变、它变、互变、复变……等递变规律。[1]（简称为“周期律”），余数这种集多功能于一身的神奇变化，大大拓宽了一次同余方程的解题领域和解题思路，成就了余数周期律无以数计的解题方法（方程模数愈大，解题方法愈多）。讫今为止，从余数周期表中挖掘出来的一次同余方程解法，几乎汇集了古今中外各类解法，集诸子名家之大成，叹为数学史上奇观。余数周期表解题，并不需要列表来求解方程。而是通

3、过方程的已知条件，一步步推算特定余数在周期表中的项数，从而获得方程的结果。这是余数周期表解题的一大特色。实际上，掌握余数周期表各种递变律之后。人的大脑就成了无以数计的周期表的表库，只要余数方程出现，这个方程周期表就反映在人的大脑里了。如解一次同余方程：148X≡±1（mod83）。通过已知条件，方程周期表有83项排列，末项余数是83（0），首项余数C0=148≡-18（mod83）。此时，自变律可直接将C0转化到+1或-1获解如：（-18）·5≡-7→（-7）·12≡-1→X-1=5·12≡-23（mod83）获解。也可转化到任一项余数，再转化到±1获解。如第9项L（-18）·9≡4→4

4、·21≡1→X1=9·21≡23（mod83）获解。任一项余数还可用它变律或复变律将其转化到±1获解（略）。三大递变律中，两两递变律联合应用或三变联用都能将任一项余数转化到±1获解（略）。因此余数周期表中究竟有多少递变规律，又有多少解题渠道和解题方法，是很难说得清楚的。在世界科技史中，循环往复的周期现象，曾解决过许多科学难题。本工作运用余数周期表的周期律，不仅意外的破解了《中国剩余定理》算法之谜，而且还解决了一次同余方程和一次不定方程不可能用公式一次计算的难题，挖掘和发现多种求解简化大模数方程的有效方法。特别地运用它变律对“大衍求一术”的简化、改进；再简化、再改进；运用复变律对欧几里德算

5、法的简化和改进；运用自变律对欧拉定理的解释和证明，充分展示了余数周期律在一次同余理论中的核心地位和作用。证实了周期律对一次同余方程的研究，已经打破了千百年来人们徘徊不前的被动局面，有了历史性的重大突破和创新，进入到一个崭新的历史发展时期。【正文】1、大衍求一术解（它变律解）。“大衍求一术”本是我国南宋数学家秦九韶发明的求解一次同余方程的方法，在世界数学史上有崇高的地位，国际上誉为《中国剩余定理》。在这里把它列为余数周期律解法之一，是因为周期表它变律在限制两个条件下的算法，就是“大衍求一术”的解法，其计算过程、算法、数据、结果完全一样[1]，这就说明，“大衍求一术”是周期表它变律的部分运用

6、，周期律解法中就包括了“大衍求一术”的方法。古老的“求一术”解法是在一个方盘上，右上布置奇数（未知系数），右下角布置定数（模数），左上角置天元1，然后交替进行如下的一、二步的操作：（1）右下角除以右上角，余数留在右下角，商与左上角相乘加入左下角（2）右上角除以右下角，余数留在右下角，商与左下角相乘加入左上角。这样重复操作，直至右上角为“1”时，左上角之数即为所求之值。（若右下角先出现“1”，则右上角除以右下角时规定余数为“1”，商为被除数减“1”）。如果将上述计算步骤用现代数学算式来表达，则“求一术”在同时进行两方面的工作，一方面是对同余方程未知系数a和模m实施辗转相除法，一直除到余数为

7、“1”，另一方面则是对辗转相除法的每一个除法等式产生余数的整数解Kn值进行递推式计算，一直推算到“1”的整数解。如果用余数周期表的理论来说，就是任一变化环节的余数选择紧邻的上一变化环节的余数实施自变余数的它变。另一方面则是对它变后的余数落在的项数（即整数解）进行推算。重复这个操作，直到推出“1”在周期表中的项数，就是余数方程的结果。整个计算过程用现代数学算式整理成左、右两列式如下：例1用“大衍求一术”解9253K≡1（mod2256