公式化解决一次同余方程和一次不定方程的探索

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1、公式化解决一次同余方程和一次不定方程的探索公式化解决一次同余方程和一次不定方程的探索孙梁（凯里市教育局贵州凯里556000）【摘要】运用余数方程周期表的自变律和周变性质，对首项余数进行模运算再转化。简明扼要地推算任意两个不等的正整数的最大公约数和余数方程的整数解。运算过程紧凑严密，环环相扣，一气呵成。比较传统的方法，显得更为简明，快速直接，不拖泥带水，容易记忆，使用方便，是一次同余方程和二元一次不定方程解法公式化的一次有效探索。【关键词】余数方程；周期表；自变律；公式化【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文

2、章编号】1009-9646（2009）03-0010-03一次同余方程ax≡c（modb）（a>b>O的整数，c为整数）或二元一次不定方程的解法在初等数论中多采用辗转相除得到a、b的最大公约数后再反向代入最大公约数的表达式［1、2］,或者将不定方程（或余数方程）未知数的系数（或模），用辗转相除法转化为一个比一个绝对值更小的不定方程（或余数方程），再一步步反向推导回原方程获得结果［3］。木工作用余数周期表原理⑷，推导的余数自变定理（1）、（2）用模运算再转化的方法，将余数方程未知系数转化到绝对

3、值是a、b最大公约数的子余数，组建余数子方程来讨论，因为这个子余数是周期表中绝对值最小余数（0除外）由其组建的余数子方程的问题会得到充分的、自然的暴露迎刃而解。乂因为余数子方程与它的母方程有着十分密切的关系，子方程有无整数解代表了母方程有无整数解；子方程整数解的解数代表了母方程整数解的解数；了方程中的了余数在周期表中的项数与余数了方程整数解（px）的乘积代表了母方程的整数解。解决了余数子方程的问题，实际上就解决了母方程的全部问题。这样，自变余数模运算再转化，把求解一次同余方程和二元一次不定方程的问题，简化到象解普通

4、一元代数方程那样简单、快捷、干净利落，走向了公式化，条理化的道路。为一次同余方程和二元一次不定方程的求解，提出了一套全新的解决解决模式。1.余数自变规律的有关定义、概念、名词、术语的解释定义1余数的自变：余数方程ax≡c（modb）周期表中任一项余数cn若在xn项，则余数cn每过xn项，余数递增cn。这种变化以余数的自身数值和所在项数为变化质，以模b为周期，周而复始，无限循环。这种变化规律称为余数的自变。余数的自变律主要用来推算自变后的余数所落在的项数（即整数解），如cn在xn项，cn连续递增p次，则p

5、en在pxn项。基本余数：周期表中任一余数cn若满足O<IcnI≤b这个条件，则这个余数叫周期表中的基本余数。周期表中有b个基本正余数和b个基本负余数。基本余数加上或减去模b的倍数，基本余数仍在其中（项数不变），周期表中任一余数，不论其绝对值有多人，都可以通过加上或减去模b的倍数，还原成它的基本余数。基本项数：周期表中任一项数值xn满足0&t;IxnI≤b这个条件。这个项数叫基本项数。周期表中，从上往下看（或从左往右）的项数看作正项数（正整数解），从下往上看（或从右往左）的项数可看作负项数（负整数

6、解），周期表中的任一周期项数，不论其项数绝对值有多大，都可通过加上或减去模b的倍数，还原成它的基本项数或者还原成绝对值最小整数解。首项余数：周期表中的第一项余数，用cn表示。由余数方程未知数系数模变而得，可表示为a≡cO（modb）（O<cO&It;b2）余数的自变环节：一个自变余数的模运算转化过程叫这个余数的一个自变环节。余数方程a≡cO（modb）周期表中，任一余数cn连续自变p次，当pen绝对值最逼近btl寸，就周变（模变）一次，产生一个新的绝对值更小的余数cn+lo这就是自变余

7、数的一个模运算过程。方法是用cn除b得一带小数的商，设带小数商的整数部分为若小数部分大于5,取商的整数值为p=m+l,若小数部分小于5,取商的整数值p二这样得到的余数都是这一变化环节绝对值最小余数，余数的一个自变环节用下面余数式表达：cnp≡cn+l(modb)(0&It;cn+l<cn2)首项余数第一自变环节及其推论：余数方程周期表首项余数的模运算转化过程叫首项余数的第一自变环节，第一自变环节产生的子余数叫一阶子余数，由一阶子余数组建的余数子方程叫一阶余数子方程。按此类推，首项余数第n个自变环节

8、产生的子余数叫n阶子余数，n阶子余数组建的余数子方程叫n阶余数子方程。归零还原的子余数：首项余数模运算转化的最后一个自变环节，是自变余数归零还原。所谓“归零”就是转化为零，“还原”就是冋到“模b”这个余数(因为模b和0在同一项)。若设归零还原的子余数是cn,如果cOIa,则丨cnI就是a、b的最大公约数。如果cn除不尽a,要选择cO为标准，增加一个辅助自变式