平面向量与圆锥曲线的结合

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1、平面向量与圆锥曲线的结合由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，因此在向量与解析几何交汇处设计试题，已经逐渐成为高考及各地统考命题的一个新的亮点.本文就这一点进行讲解，以期起到抛砖引玉的作用.PBQMFOAxy例1如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；（Ⅰ）解法一：设点，则，由得：，化简得．解法二：（Ⅰ）由得：，，，．所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．（

2、Ⅱ）略（有兴趣的同学可以自己解答，参考答案为点评：本题是采用向量的方式，即利用向量引进条件，加大新内容与传统内容的联系，打破学生的思维定势，具有一定的综合性.本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．例2.设分别为椭圆的左、焦点右.（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．（Ⅰ）易知，，．∴，．设．则，又，联立，解得，．（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设

3、的方程为，设，．联立∴，由，，得．①又为锐角，∴又∴∴．②综①②可知，∴的取值范围是点评：本题将平面向量、椭圆的概念运算融合成一道综合题，主要考查平面向量的运算以及解方程组的数学思想方法.另外运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果.小结：平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思想是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.