高考数学总复习经典测试题解析版13.4数学归纳法

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1、13.4数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是(　　)．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析　A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案　D2．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应

2、取(　　)A．2B．3C．5D．6解析分别令n0＝2,3,5,依次验证即可．答案C3．对于不等式

3、学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”时，在验证n＝1成立时，左边应该是(　　)A1　　　　　　　B1＋aC1＋a＋a2D1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.答案C5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)．A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2[来源:学科网]解析　∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2

4、＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.答案　D6．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　)A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)解析(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．答

5、案D7．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)．A.B．－C.－D.＋解析　∵当n＝k时，左侧＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左侧＝1－＋－＋…＋－＋－.答案　C二、填空题8．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19,m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为______

6、__．解析依题意得n2＝＝100,∴n＝10.易知m3＝21m＋×2,整理得(m－5)(m＋4)＝0,又m∈N*,所以m＝5,所以m＋n＝15.答案159.用数学归纳法证明：＋＋…＋＝；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是　　　　　.解析当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋[来源:学。科。网]故只需证明＋＝即可.答案＋＝10．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________．11　　11　　2　　11　　3　　3　　11　　4　　

7、6　　4　　1…解析　所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n.答案　2n－2n11．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．解析　当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，即a3＝(a1＋a2)＝；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，即a4＝(a1＋a2＋a3)＝.∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝，故猜想an＝.答案　

8、an＝12．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．解析∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．答案2k＋1三、解答题13．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.证