高考数学总复习经典测试题解析版95 椭圆

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1、9.5椭圆一、选择题1．椭圆＋＝1的离心率为(　　)A.　　　B.C.D.解析∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8.∴e＝＝.答案D2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)．A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析　依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.答案　A3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　)．A.B.C.D.解析　先将x2＋4y2＝1化为标准方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝＝.离心率e＝＝.答案　A4．设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，

2、P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为(　　)．A．1B.C．2D.解析　由题意知，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为.答案　D5.椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（　　）A．B．C．D．答案　D6．若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为(　　)．A.B.C.D.解析　在Rt△PF1F2中，设

3、PF2

4、＝1，则

5、PF2

6、＝2.

7、F1F2

8、＝，∴e＝＝.答案　A7．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0

9、)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)A.B.C.D.解析根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的椭圆的离心率为.答案　B二、填空题8．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，

10、OM

11、＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．解析由题意知

12、OM

13、＝

14、PF2

15、＝3，∴

16、PF2

17、＝6.∴

18、PF1

19、＝2×5－6＝4.答案49．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆

20、的离心率等于________．解析如图所示，设A，B是椭圆的两个焦点，P是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，△PAB是一个直角三角形，且∠BAP＝30°，所以AP＝ABcos30°＝c，BP＝c，根据椭圆定义AP＋BP＝2a，故c＋c＝2a，所以e＝＝＝－1.答案－110．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析　由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5

21、＝0，求得切点A，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝1.答案　＋＝111．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析　设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①将y2＝b2－x2代入①式解得x2＝，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈.答案　12.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段P

22、F1的中点在y轴上，那么

23、PF1

24、是

25、PF2

26、的_____倍．解析不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即

27、PF2

28、=，

29、PF1

30、=，因此

31、PF1

32、=7

33、PF2

34、.答案7三、解答题13．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且·＝－，求点P的坐标；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为原点)，求直线l斜率k的取值范围．解析(1)由题意知a＝2，b＝1，c＝，所以F1(－，0)，F2(，0)．设P(x，y)(x>0，y>0)，＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．由·＝－，得x

35、2＋y2－3＝－.联立解得点P(1，)．(2)可设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，得k2>.　①又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，∵∠AOB为锐角，所以·>0，即x1x2＋y1y2>0.即(1＋k2)x1x2＋2k(