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1、2003年考研数学（二）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若时，与是等价无穷小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.（3）的麦克劳林公式中项的系数是.（4）设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.（5）设为3维列向量，是的转置.若，则=.（6）设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只
2、有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设均为非负数列，且,,,则必有(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.[]（2）设,则极限等于(A).(B).(C).(D).[]18/18（3）已知是微分方程的解，则的表达式为（A）(B)(C)(D)[]（4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[]yOx（5）设,
3、,则(A)(B)(C)(D)[]（6）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则(A)当时，向量组II必线性相关.(B)当时，向量组II必线性相关.(C)当时，向量组I必线性相关.(D)当时，向量组I必线性相关.[]三、（本题满分10分）设函数18/18问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程所确定，求五、（本题满分9分）计算不定积分六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(
4、y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.七、（本题满分12分）讨论曲线与的交点个数.八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(1)求曲线y=f(x)的方程；(2)已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入
5、液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1)根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；(2)求曲线的方程.18/18(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且若极限存在，证明：(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点，使；(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使十一、（本题满分10分）若矩阵相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使十二、（本题满分8分）已知平
6、面上三条不同直线的方程分别为，，.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为18/181.【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当时，，.于是，根据题设有，故a=-4.【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.38【例1.62】.2..【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式两边直接对x求导，得，将x=1,y=1代入上式，有故过点(1,1)处的切线方程为，即【评注】本题属常规题型，综
7、合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见《数学复习指南》P.55【例2.13】和【例2.14】.3..【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值，则麦克劳林公式中项的系数是【详解】因为，，，于是有，故麦克劳林公式中项的系数是【评注】本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.4..【分析】利用极坐标下的面积计算公式即可.【详解】所求面积为=.【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.完全类似例题见《数学复习指南》P.200【例7.38】.5..【分
8、析】本题的关键是矩阵18/18的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由=，知，于是【评注】一般地，若n阶矩阵A的秩为1，则必有完全类似例题见《数学复习指南》P.389【例2.11】和《考研数学大串讲》P.162【例13】.6..【分析】先化简分
