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1、第25卷第4期大学数学Vol.25,№.42009年8月COLLEGEMATHEMATICSAug.2009结合小波理论讲授泛函分析课程石智,王军秋(西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055)[摘要]对泛函分析课程教学中的一些应用问题进行了探讨,阐述了泛函分析在小波理论中的应用,重点3说明希尔伯特空间的正交性、伴随算子、投影算子以及依范数收敛、弱收敛在小波理论中的体现.[关键词]泛函分析;小波;正交性;投影算子;伴随算子[中图分类号]G642.0[文献标识码]C[文章编号]167221454(2009)04201862041引言泛函分析是古典分析观点的推广,他综合了函数论、几何和代数的观
2、点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论.半个多世纪以来,泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材提取自己研究的对象和某些手段,并形成了自己的许多重要分支;另一方面,他也强有力地推动着其他分析学科的发展,他的观点和方法已经渗入到不少工程技术的学科之中,成为近代分析的基础之一.小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域,他同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义.小波理论的研究难点之一就是小波基的构造,这又需要对小波理论有深入的理解,而小波理论需要数学分析、实变函数与泛函分析的基础知识,因此,在泛函分析课程的教学中,结合现代数学的内容,可使教学更加生动,学生也知道了泛函分析的用处.教学中我们在以
3、下几个方面把泛函分析与小波理论结合起来.2希尔伯特空间的正交分解及投影算子在构造小波基中的作用[1]希尔伯特空间的正交分解及投影算子的概念如下:定义1设H是希尔伯特空间,E是H的非空线性闭子空间,则任意的x∈X有唯一的正交分解式⊥x=y+z,y∈E,z∈E.⊥即H=EÝE,记号Ý称为直和.令Px=y,称P为H上的正交投影算子,简称投影算子.容易证明P为定义在H上的有界线性算子.正交分解与投影算子应用广泛,这里主要论述他们在构造小波基中的作用.我们知道构造小波基的一[2]2般方法是多分辨分析,即满足下面四个条件的L空间的闭子空间族{Vj}j∈:2(i)⋯V-14、0},∪Vj=L();j∈j∈(iii)f(x)∈VjZf(2x)∈Vj+1,j∈;(iv){φ(x-n)}n∈是V0的标准正交基.j/2φj令φj,n(x)=2(2x-n),则φj,n∈Vj.f在Vj上的正交投影算子可通过他在尺度正交基下的展开式得到,即+∞PVf=〈f,φj,n〉φj,n.j∑n=-∞[收稿日期]2007201212[基金项目]陕西省教育厅专项科研基金(03JK065)第4期石智,等:结合小波理论讲授泛函分析课程187由巴塞弗等式,得+∞22‖PVf‖=
5、〈f,φj,n〉
6、.j∑n=-∞从多分辨分析的概念知,Vj7、jÝWj,也就是f(x)在Vj+1上的正交投影可分解为他在Vj和Wj上的正交投影之和,即PVf=PVf+PWf.通过替换可知对j+1jjL2任何的J>L,有VJ=ÝWjÝVL.由多分辨分析定义的第(ii)个条件得L()=ÝWj,即函数f在小j=J-1j∈波正交基下的展开式为+∞+∞+∞f=PWf=〈f,ψj,n〉ψj,n.∑j∑∑j=-∞j=-∞n=-∞33伴随算子、依范数收敛与弱收敛在小波理论中的应用3伴随算子、点列依范数收敛与弱收敛的概念如下:3定义2设H1与H2是希尔伯特空间,T:H1→H2是有界线性算子.如果存在T:H2→H1,使得对33于所有的x∈H1和y∈H2,有〈Tx,y〉=〈
8、x,Ty〉,则称T为T的伴随算子.定义3设X是赋范线性空间,xn,x∈X.如果lim‖xn-x‖=0,则称{xn}依范数收敛于x.记作n→∞limxn=x或xn→x(n→∞).n→∞33333定义4设X是赋范线性空间,xn,x∈X(n=1,2,⋯).如果对任一x∈X,xn(x)→x(x),即在Xw33333333上,{xn(x)}处处收敛于x(x),则称{xn}弱收敛于x.记作xnx(n→∞).在讲述伴随算子时,我们提到傅立叶变换的伴随算子就是傅立叶逆变换,使学生对伴随算子的概念有了更清晰的理解.-1-1设f和g都是平方可积的,则〈F[f],g〉=〈f,F[g]〉,其中F[f]是f的傅里叶变
9、换,F[g]是g的2傅里叶逆变换.事实上,根据L空间内积的定义,有+∞+∞+∞^1-iωt〈F[f],g〉=f(ω)g(ω)dω=f(t)edtg(ω)dω∫-∞2π∫-∞∫-∞+∞+∞1iωt=f(t)g(ω)edωdt.∫-∞2π∫-∞因此+∞-1-1〈F[f],g〉=f(t)F[g](t)dt=〈f,F[g]〉.∫-∞即傅里叶变换的伴随算子就是傅里叶逆变换.3下面是伴随算子、依范数收敛与弱收敛在小波理论
